Capteurs et Traitement avancé du signal

Il n'est plus possible de concevoir un nouveau type de capteur spécifique d'une mesure d'une grandeur particulière sans se poser au préalable la question : quels sont les outils de traitement du signal dont on pourra disposer afin d'optimiser le système? En d'autres termes la disposition de certaines méthodes avancées de traitement du signal peut rendre opératoire un concept de capteur inenvisageable autrement. Aussi nous allons donner un aperçu de certaines techniques récentes dont on aura eu l'occasion de montrer l'utilité dans d'autres chapitres. Il ne s'agit pas ici de faire un cours de traitement du signal mais d'ouvrir quelques pistes, de fournir quelques éléments de réflexion à l'intention du professionnel confronté à un problème de mesure délicate.

1. Capteur idéal

Le capteur idéal est celui pour lequel on dispose d'une relation linéaire connue entre l'amplitude de la grandeur à mesurer et le signal de sortie du capteur, et pour lequel les conditions d'emploi sont telles qu'aucune grandeur d'influence ne perturbe son fonctionnement et qu'aucun bruit parasite ne vient se superposer au signal utile.

Cette situation est malheureusement exceptionnelle et le plus souvent la fonction de transfert n'est pas linéaire, des grandeurs d'influence et des bruits perturbent le résultat. Parfois même l'équation reliant la grandeur à mesurer et la sortie du capteur n'est pas de type paramétrique. A chacun de ces problèmes correspondent des approches spécifiques de traitement du signal.

2. Equations connues

Si les équations sont connues, qu'elles soient linéaires ou non, le problème est aisément soluble en utilisant le concept élémentaire de capteur intelligent présenté par ailleurs. Si l'on connaît la relation liant la grandeur à mesurer et le signal de sortie du capteur, et si l'on connaît mathématiquement l'influence des grandeurs perturbatrices et qu'on dispose de capteurs spécifiques de ces grandeurs il est alors possible d'intégrer ces éléments dans un programme correctif.

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3. Signaux perturbateurs plus ou moins aléatoires

Il existe de nombreux cas de mesure où le paramètre à mesurer est bruité, soit directement dans son environnement propre, soit le long de la chaîne de transmission et de traitement de l'information.

Comment procéder pour éliminer le signal pertubateur du résultat? Deux cas sont à considérer, soit le signal perturbateur se situe dans une plage de fréquence extérieure à celle du signal utile, soit au contraire il y a recouvrement total ou partiel. Le premier cas sera plus aisé à traiter, le second nécessitera des méthodes beaucoup plus sophistiquées qui pourraient parfois rebuter le non spécialiste et l'inciter à rechercher l'emploi d'un autre type de capteur moins sensible à ce type de perturbation.

3.1. Spectre du bruit extérieur au spectre du signal utile

Dans ce cas l'emploi d'un filtrage analogique, passif ou actif, se révèle souvent largement suffisant et tous les ouvrages élémentaire d'électronique présentent les principes de filtres passe-haut, passe-bas ou passe-bande utilisables et fondés sur des montages dérivés de celui (passe-bas Sallen Key) présenté ci-dessous.

.....

Deux cas particuliers sont cependant à considérer avec attention : le cas où l'amplitude du signal utile est très faible et sensiblement inférieure à celle de la perturbation et où les plages de fréquence respectives sont assez proches, le cas où la perturbation recouvre une plage de fréquence susceptible de varier aléatoirement. Dans ces deux cas le filtrage analogique élémentaire peut se révéler inapproprié et une technique adaptative numérique est alors à envisager.

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3.2. Spectre du bruit aléatoire et recouvrant la plage de signal utile

Les méthodes numériques de filtrage sont indispensables dans ce cas et devront être choisies avec soin. Elles reposent toutes sur le principe, sur un échantillon de courte durée, d'analyse spectrale obtenue par le biais d'une conversion temps-fréquence suivie d'une élimination des indésirables et d'une restauration ultérieure du signal analogique débarrassé du bruit.

Toutes les procédures employées dérivent de la même constatation due à Fourier, à savoir qu'un signal périodique peut-être décomposé aisément en ses composantes individuelles dont on sait qu'elles comportent un terme continu, un terme sinusoïdal, dit fondamental, et un nombre infini d'harmoniques dont les amplitudes vont décroissant quand l'ordre de l'harmonique augmente, certains termes pouvant d'ailleurs être nuls. L'extrapolation de cette décomposition à un échantillon fini dans le temps, d'une part, et la mise au point de circuits électroniques spécialisés capables d'effectuer les calculs en temps quasi réel a permis un grand développement de cette technique dite de transformée rapide de Fourier (FFT).

Ce n'est cependant pas la panacée car l'emploi d'une fenêtre d'analyse figée se traduit par une perte d'information non négligeable puisque la FFT élimine la phase. D'autre part, le théorème de Shannon impose que la fréquence d'échantillonnage soit au moins deux fois supérieure à la fréquence maximale contenue dans le spectre du signal à analyser.

...

A titre d'exemple on représente sur la figure ci-dessus le spectre théorique d'un signal et, à droite, le spectre réel obtenu et visualisant l'imperfection de la transformattion pratique..

3.2.1 de Fourier à l'ondelette de Morlet

La transformation de Fourier est un outil majeur dans l'analyse du signal. Elle est incontournable dans l'analyse du signal utilisant l'aspect fréquentiel d'un signal. En effet, une description fréquentielle est souvent plus " lisible " que la description temporelle et est un complément remarquable à la seule description temporelle. La transformation de Fourier associée à s(t) s'écrit :

Elle décompose, de façon canonique, le signal en combinaisons linéaires d'ondes élémentaires. Cette transformation permet de décrire la répartition des composantes fréquentielles du signal s(t) sans nous renseigner sur les instants de l'apparition de celles-ci. Les renseignements fréquentiels ainsi obtenus le sont au détriment de la description temporelle explicite du signal. Cette méthode ne convient donc pas à tous les types de signaux, notamment des signaux non-stationnaires qui se caractérisent par l'apparition d'événements transitoires. Elle est aussi insuffisante pour mettre en évidence les caractéristiques évolutives du signal. Et ni la description temporelle ni la description fréquentielle seules permettent de décrire l'évolution temporelle du contenu spectral d'un signal. Une autre description est donc nécessaire, combinant les deux descriptions : la représentation " temps-fréquence ".

Si l'analyse de Fourier présente ainsi des limitations quant à ses possibilités d'interprétation pour certains types de signaux, il n'en reste pas moins vrai que la première méthode d'analyse temps-fréquence est basée sur l'analyse de Fourier [FLA93]. C'est la Transformation de Fourier à Fenêtre Glissante TFFG, introduite par le physicien D. Gabor dès les années quarante. Elle consiste à décomposer le signal suivant une famille de fonctions g_a,b qui dérivent toutes d'une même " fonction fenêtre " g(t) par translation en temps (paramètre b) et modulation en temps (on multiplie la fonction g par une fonction sinusoïdale de fréquence a) : g_a,b(t) est de la forme g(t-b)exp(2iat), où le terme b localise une fenêtre d'analyse. Cette transformation s'écrit:

La figure ci-dessous montre le plan temps-fréquence. Les bandes verticales illustrent pour un temps b donné, " le fenêtrage de signal " calculé pour toutes les "fréquences". Une autre interprétation, basée sur la notion de banc de filtres, est montrée par les bandes horizontales. Pour une fréquence donnée a, le signal "entier" est filtré avec un filtre passe bande dont la réponse impulsionnelle est la fonction fenêtre modulée par une fréquence a. Cette transformation conserve les aspects temporels et fréquentiels du signal. Mais décomposer un signal suivant des fonctions à la fois localisées en temps et en fréquence ne peut se faire que dans la limite imposée par l'inégalité de Heisenberg.



Avant de montrer l'expression de cette inégalité, voyons d'abord la notion de résolution en temps et en fréquence dans cette représentation [RIO91]. Si g(t) est une fonction fenêtre et G(f) est sa transformation de Fourier, la résolution en fréquence f se définit par :

f représente la résolution en fréquence, autrement dit deux sinusoïdes peuvent être discriminées si elles sont différentes de plus de f. De la même façon, la résolution en temps t se définit par:

t représente la résolution en temps, et deux impulsions peuvent être discriminées si elles sont espacées de plus de t. Heisenberg montre que

D'après ce principe aucun signal ne peut être simultanément et arbitrairement localisé en temps et en fréquence, et l'amélioration de la résolution fréquentielle n'est possible qu'au détriment de la résolution temporelle, et vice versa. Gabor a choisi g de manière optimale dans les limites imposées par cette inégalité. Il a choisi la fonction la plus concentrée, c'est à dire le signal gaussien. Mais cette transformation a un inconvénient majeur. Une fois que la fonction g est choisie, la résolution en temps et en fréquence, donnée par les variables a et b, est fixe. Par conséquent, si le signal est composé de phénomènes dont les échelles de temps sont différentes, elle ne permet pas de les analyser simultanément avec une bonne résolution, en temps et en fréquence.

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3.2.2 transformation en ondelettes

Pour palier la limitation de résolution du TFFG, J. Morlet a repris la démarche de Gabor en choisissant la fonction différente de g. Pour que t et f varient dans le plan temps-fréquence, la famille de n'est pas construite par translation et modulation comme celle de g, mais par translation et dilatation ou contraction ( changement d'échelle). La fonction (t), de la variable réelle t, s'appelle " ondelette mère ". Le nom d'ondelette vient du fait que c'est une fonction oscillante (comme une onde), mais localisée. Ces conditions suggèrent que (t) vibre comme une onde et décroît rapidement quand |t| augmente. La famille d'ondelettes_a,b(t), a>0, bR s'écrit : où a traduit le changement d'échelle et b la translation dans le temps.

La fonction à deux variables est une représentation temps-échelle appelée " Transformation en ondelettes ".

Le nombre d'oscillations des fonctions analysantes de la TFFG augmente avec la fréquence tandis que celles de la transformation en ondelettes ont le même nombre d'oscillations : elles s'étirent ou se contractent.


fonctions analysantes et résolution temps fréquence de TFFG (a) et TO (b)

Si l'on considère _a,b comme un banc de filtres, la résolution en temps augmente avec la fréquence centrale des filtres. Et f n'est plus constant mais proportionnel à la fréquence centrale : f/f= c Le banc de filtres est composé par un ensemble de filtres passe bande avec une largeur de bande relative constante. Une autre façon de voir est de dire qu'au lieu que les filtres soient régulièrement espacés dans l'échelle linéaire (comme dans TFFG), les filtres sont régulièrement répartis dans l'échelle logarithmique.


division du domaine fréquentiel (a) pour TFFG (couverture uniforme) et (b) pour TO (couverture logarithmique)

Une fonction est dite ondelette analysante si elle satisfait les conditions suivantes [BAR91] :

• être continue, absolument intégrable et de carré intégrable (énergie finie)
• être analytique : sa transformée de Fourier doit être nulle pour f < 0
• être admissible :

Les fonctions _(a,b) forment une famille d'ondelettes de même énergie. L'ensemble de fonctions S_a,b constitue la décomposition du signal s(t) suivant la famille d'ondelettes_a,b. Pour chaque couple (a,b), |Sa,b|² est proportionnel à l 'énergie du signal s(t) contenu dans la bande de fréquence liée à et au couple (a,b). En un certain sens S_a,b mesure les fluctuations du signal s(t), autour du point b, à l'échelle fournie par a>0.

Si _a,b satisfait la condition d'admissibilité, alors le signal peut être restitué par une formule de reconstruction :

où

3.2.3. ondelette de Morlet

La première famille d'ondelettes présentée par J. Morlet est issue de la fonction :

Elle est inspirée du signal élémentaire de Gabor, c'est à dire par modulation d'une gaussienne. Depuis, toutes les ondelettes (t) correspondant à une modulation d'amplitude d'enveloppe A(t) portée par une exponentielle complexe, s'appellent ondelettes de type Morlet. Elle ne satisfait pas rigoureusement à la condition d'admissibilité mais le choix de de f0 et permet d'approcher cette condition. La solution de compromis retenue par Morlet consistait à imposer une valeur faible de |(0)| tout en ne tolérant qu'un petit nombre d'oscillations, donc f0. La famille d'ondelettes de Morlet donne un outil remarquable pour l'analyse de signaux. Mais elle est redondante et ne peut en aucun cas conduire à la reconstruction d'une base de L²(R).

3.2.4. analyse multirésolution et ondelette.

La première construction de base orthonormales d'ondelettes pour L²(R) découle de travaux de Y.Meyer [MEY87]. Il découvre qu'en choisissant la fonction analysante y de manière plus précise (à spectre borné, de classe C^a et à décroissance rapide ) et en discrétisant les paramètres a et b (a = 2^-j, b = k2^-j), alors :
forment une base de L²(R).

La décomposition sur une base d'ondelette orthonormale signifie que le signal est décomposé de manière unique et minimale et que les coefficients Sa,b sont indépendants. D'autres bases ont été proposées [FLA93]. L'une des plus remarquables est découverte par Ingrid Daubechies [DAU88]. Sa découverte a été effectuée dans le cadre de la construction des bases d'ondelettes à support compact, de façon à ne mettre en jeu qu'un nombre fini de coefficients dans les filtres associés. La théorie des ondelettes se développe vraiment lorsque S. Mallat [MAL89] propose un algorithme rapide pour le calcul des coefficients d'ondelettes. Son algorithme s'inspire d'algorithme pyramidal introduit dans les années 70 pour la décomposition en sous-bandes. Il a montré que la théorie des ondelettes s'intègre dans la notion d'analyse multirésolution. Celle-ci se formalise à partir de l'idée intuitive selon laquelle tout signal peut être construit par raffinements successifs, c'est-à-dire par l'ajout de détails à une approximation, et l'itération du processus.

3.2.5.exploitation pratique

Ainsi qu'on vient de le voir un procédé récent met en oeuvre l'analyse par ondelettes que l'on peut en première approximation considérer comme une extension de la FFT dans laquelle la fenêtre d'analyse peut être optimisée dans sa forme et possède en outre la propriété essentielle d'opérer sur une durée variant avec la fréquence. Il en résulte des possibilités accrues de filtrage avec des temps de calcul raisonnables. Une ondelette est un signal oscillant dont la moyenne est nulle et dont l'énergie tend vers zéro à l'infini. Les ondelettes sont regroupées en familles de courbes formant chacune une base de l'espace vectoriel des signaux. Il s'agit donc de décomposer un signal selon une autre base que celle des sinusoïdes.

Résumons l'algorithme de Mallat

L'analyse multirésolution d'une fonction f de L²(R) se traduit par l'obtention d'une suite discrète f_n de fonctions, dont chacune est une approximation de f à une résolution bien déterminée. Par définition, une analyse multirésolution [MAL89] est une suite croissante {V_j} jZ de sous-espaces vectoriels fermés de L²(R). Chaque V_j se trouve associé à une résolution 2j et l'approximation d'un signal f(t) à cette résolution est obtenue par projection sur le sous-espace correspondant. Autrement dit si P_j sont des projecteurs orthogonaux sur les espaces V_j, alors pour tout f dans L²(R) :

P_j : fL²(R) ---> P_j(f) V_j et P_j(f) est une approximation de f à une résolution 2j.

Et puisque d'après la propriété V_jV_j+1, l'approximation P_j+1(f) est " meilleure " que l'approximation P_j(f) :

Une base de V_j peut alors se déduire de la base V₀ par construction de la famille des dilatées et translatées : _k,j=2^j/2(2jt-k) à partir de la seule fonction (t) appelée fonction d'échelle. Il ne s'agit pas encore de l'ondelette mais d'une fonction parfois appelée " père des ondelettes ". Les coefficients d'approximation A_k,j, obtenus par : sont en fait une représentation extrêmement redondante. En reprenant l'idée de description d'un signal en termes d'approximations successives, une représentation beaucoup plus économique consiste à s'intéresser à la différence d'information qui existe entre deux approximations consécutives. Cette différence, P_j+1(f) - P_j(f), est un détail additionnel nécessaire pour passer de l'approximation d'échelle 2j ( P_j(f)) à celle, plus fine, d'échelle 2j+1 (P_j+1(f)). Ceci revient à dire que, pour chaque espace d'approximation V_j, les détails appartiennent à un espace supplémentaire orthogonal de V_j dans V_j+1.

Inversement Y. Meyer et S. Mallat montrent que l'on peut construire une base orthonormale d'ondelettes en partant d'une analyse multirésolution. La construction peut être introduite de la manière suivant : on considère W_j le supplémentaire orthogonal de V_j dans V_j+1. Ceci signifie que l'on a la relation :

Vj+1 = Vj Å Wj

On suppose que s, le signal à analyser, est déjà approximé à une certaine échelle. Par convention, on fixera cette échelle à j=0. Le signal s appartient donc à V₀. On introduit les variables A_k,j(s) et D_k,j(s) qui sont respectivement les projections de s sur les espaces d'approximation (V_j) et de détails (W_j) aux échelles plus grossières (j<0)

et

Mallat a montré les relations récursives entre A_,j et A_,j+1, de même entre D_,j et A_,j+1,

et

Ces deux équations ci-dessus indiquent que le calcul des coefficients d'approximation A_k,j(s) et de détail D_k,j(s) se fait de façon hiérarchique.

A chaque étape on applique en fait dans la cellule de décomposition deux filtres : un passe-bas, dont sera issue une approximation A_k-1, et un passe-haut, dont on obtiendra les détails D_k-1. En procédant à une décimation d'ordre 2 sur A_k-1 on pourra dans l'étage suivant utiliser les mêmes filtres ce qui simplifie fortement l'architecture du système. Un tel algorithme est dit pyramidal. Sa structure pyramidale est illustrée par la figure ci-dessous.


principe de l'algorithme pyramidal de décomposition


Fig. principe de la cellule de décomposition

Il en résulte des diagrammes plus faciles à interpréter que ceux obtenus avec la transformée de Fourier avec une fenêtre glissante mais sur un temps fini.

Il convient de noter que, si l'on sait, grâce à cet algorithme pyramidal, décomposer le signal, en utilisant un processus inverse on pourra reconstruire le signal.

La relation de reconstruction s'écrit:

Mais en omettant certains détails lors de la reconstruction, il va de soit que l'on pourra réaliser une opération de filtrage tout à fait élégante. L'exemple de décomposition par l'ondelette de Mallat d'un signal électrocardiogramme fortement bruité illustre typiquement cette possibilité.


Fig. décomposition en sept étapes d'un signal ECG bruité

Sur cet exemple on constate que le bruit HF se concentre essentiellement dans les détails d1 et d2 que l'on supprimera de la reconstruction., tandis que le bruit basse fréquence influence les détails d6 et d7. On constate que dans la 7ème approximation il ne reste quasiment plus rien, il est donc inutile de continuer la décomposition.

Enfin l'intérêt des méthodes avancées de traitement du signal résulte de leur bonne adaptabilité au principe de filtrage dit adaptatif dont on donne un exemple ci-après.

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