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17 mars 2013
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PHYSIQUE DU SOLIDE
partie 6/7 équation de continuité et jonctions

phénomène de diffusion la première loi de Fick
équation de continuité la seconde loi de Fick
application la longueur de diffusion
jonction métal-métal retrouvons la ddp de Volta
jonction métal-semiconducteur comment faire une diode Schottky
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phénomène de diffusion

Supposons que l'on dispose d'un barreau homogène de semiconducteur de type N (concentration initiale en porteurs n0 >> p0) et que l'on éclaire celui-ci, dans sa partie médiane, avec une lumière de longueur d'onde convenable (c'est à dire d'énergie supérieure à Eg). L'absorption de photons (photoélectricité expliquée par Einstein) se traduit par une création de paires électron-trou et donc n = n0 + n et p = p0 + p avec n = p dans la zone éclairée (voir fig.).


Fig. évolution de la concentration en trous dans un barreau localement éclairé

Si l'on trace le diagramme de la concentration en trous, par ex., en fonction de x on constate le résultat suivant : la concentration de porteurs majoritaires (n) ne varie pas (car Dn est très inférieur à n0) par contre la concentration en trous peut-être très fortement modifiée si Dp est de l'ordre de p0 (qui est très petit puisque le matériau est de type N). Dans ces conditions les trous étant notablement plus nombreux dans la zone éclairée que dans le reste du barreau vont se déplacer latéralement vers les régions de plus faible concentration en trous et, du fait des recombinaisons qui ne manqueront pas de se produire puisqu'il s'agit d'un matériau de type N donc riche en électrons libres, on obtient un profil de concentration décroissant jusqu'à p0.

Ce phénomène de diffusion des porteurs minoritaires est décrit par la loi de Fick qui indique que le nombre de trous diffusant à travers un élément de surface situé à l'abscisse x est proprotionnel à la variation de concentration entre x et x+dx


De même dans un semiconducteur de type P on mettrait en évidence un flux d'électrons qui s'exprimerait par Dans ces deux relations les quantités Dp et Dn sont appelées constantes de diffusion.

en cm2/s Ge Si
Dp 44 6.5
Dn 93 31

Si en outre un champ électrique est appliqué au cristal on aura en plus le phénomène d'entrainement déjà décrit soit

et

équation de continuité

Considérons une surface unité sur deux plans parallèles en x et x+dx. Le flux entrant en x est Fp(x) le flux sortant en x+dx est Fp(x+dx). Si, pendant le temps t, on admet qu'il ne se produit aucune recombinaison ni création de paire électron-trou, la quantité [Fp(x) - Fp(x+dx)]t = P représente l'acroissement du nombre de trous pendant ce temps dans le volume limité par les deux plans auquel correspond une augmentation Dp de leur concentration définie par

Dp = P/x soit Dp = [Fp(x) - Fp(x+dx)]t /x et en passant aux limites 2ème loi de Fick

Si maintenant nous admettons qu'il y a un taux G de génération de paires électron-trou qui ont une durée de vie p c'est à dire un taux de recombinaison

- [PN - PN0] / p où PN est la concentration de trous instantanée et PN0 celle qu'il y aurait à l'équilibre thermique en absence de toute perturbation on obtient alors le bilan global dans le cas d'un modèle unidimensionnel

et la relation équivalente pour un semiconducteur de type P

Ce sont les équations de continuité, que l'on sait intégrer dans ce seul cas en remplaçant bien sûr au préalable F par son expression. On leur ajoute l'équation de Poisson qui exprime dE/dx =/ où est la densité de charge d'espace ce qui conduit à un système d'équations qui nous servira pour comprendre le fonctionnement des principaux composants (et capteurs intégrés).

La charge totale dans un élément de volume comportant tous les types possibles de porteurs s'exprime par q.p + q(Nd-nd) - q.n - q(Na -pa) où Nd est la concentration en atomes donneurs, nd est la concentration en atomes donneurs non ionisés (très faible a priori), Na celle en accepteurs, na celle en accepteurs non ionisés, n et p les concentrations en électrons libres et en trous. Il en résulte pour un cristal majoritairement dopé N :

et

pour un cristal de type majoritairement P les relations sont semblables en changeant p par n et réciproquement ce qui donne :

et

Le courant dans un semiconducteur est évidemment toujours la somme des déplacements des trous et des électrons qui sont influencés soit par un champ électrique (courant de conduction) soit par un gradient de concentration (courant de diffusion) on a donc dans tous les cas :

et et dans chaque section du semiconducteur la densité de courant est

Application

* En l'absence de champ, à l'extrémité (x = 0) d'un barreau de type N on injecte un excès de porteurs minoritaires (trous) indépendamment du temps

on cherche p(x). Le phénomène est stationnaire donc dp/dt = 0, donc le champ est nul et l'équation de continuité se simplifie. En introduisant la notion de longueur de diffusion en posant la solution de l'équation de continuité devient


Fig. processus de diffusion dans un barreau selon sa longueur

Dans le cas ou le barreau a une longueur finie L le raisonnement est semblable, mais on a une condition aux limites différente c'est que pour x = L on a obligatoirement p = po, d'où un processus de diffusion sensiblement différent.

Notons que si le barreau a une longueur finie de longueur L < Lp alors l'expression de p(x) devient

* Supposons maintenant un champ électrique E en plus, dans l'équation générale l'injection de porteurs minoritaires est supposée suffisamment faible pour ne pas perturber ce champ électrique (donc dE/dx = 0) et sa solution sera du type. on sait que si x tend vers l'infini p tend vers zéro si 1 > 0 et 2 < 0 On voit aisément que pour x = 0 on a p = p0 que pour x > 0 et pour x < 0 Les deux termes 1/1 et 1/2 sont les solutions complémentaires d'une équation du second degré, on montre aussi que lorsque le champ est élevé 1 < Lp et -2 > Lp et il est clair que la décroissance du nombre de trous en fonction de x est fortement dissymétrique ainsi que le montre la représentation graphique ci-dessous (cas d'un barreau infini des 2 côtés).


Fig. influence d'un champ électrique E

Ces différents résultats seront exploités dans la conception (dimensionnement) des composants électroniques.

contact métal-métal

Supposons deux métaux différents M1 et M2 à température uniforme et mis en contact selon le schéma ci-dessus.Que se passe-t-il à l'interface B? Si M1 était seul on pourrait calculer le nombre d'électrons susceptibles de franchir la surface limite, c'est à dire possédant une énergie supérieure au travail de sortie Ws1.Le même raisonnement vaut pour le métal M2 il en résulte qu'un électron passant de M1 à M2 doit nécessairement voir son niveau d'énergie varier d'une quantité égale à Ws1-Ws2 et il y a donc une ddp à l'interface que l'on peut exprimer par -q(V1-V2) = Ws1-Ws2 et si le circuit est ouvert en A on peut effectivement mesurer V1-V2 (ddp de Volta).

cas d'un contact métal-semiconducteur

Supposons un semiconducteur de type N en contact supposé parfait avec un métal. Le mécanisme d'échange d'électrons va se produire et comme dans le cas précédent se traduire par un alignement des niveaux de Fermi. Comme la conductibilité du métal est très supérieure à celle du semiconducteur l'échange va se faire au détriment de celui-ci et bien évidemment à chaque fois qu'un électron de la bande de conduction du semiconducteur passe dans le métal il manque un électron dans le semiconducteur et il en résulte une charge + à l'interface. Le potentiel du semiconducteur va donc augmenter au voisinage du contact, tandis que le métal se chargera négativement. Ce processus se poursuivra jusqu'à ce que le flux d'électrons soit identique dans les deux sens.


Fig. jonction métal-semiconducteur

Si on se place loin du contact (à distance supérieure à Lp) le semiconducteur n'est pas altéré par ce qui se passe au niveau du contact. Cela revient à dire que dans une zone finie le niveau du bas de la bande de conduction (et du haut de la bande de valence) s'incurve partant du niveau Ec pour atteindre le niveau BN sur le plan du contact. Dans tout ce domaine il y aura appauvrissement en électrons (on parle de région désertée) et on peut dire que la concentration en électrons est donc une fonction croissante de x avec un champ électrique en résultant. Ce dispositif est exploité dans les diodes dites Schottky.

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