Lignes de transmission

Dans un autre document nous explicitons l'essentiel des procédés de transmission, certains supposent une ligne entre l'émetteur et le récepteur, qu'il s'agisse d'un cable de cuivre ou d'une fibre optique, ce sont ces lignes, dont le rôle est alors essentiel, que nous allons examiner ici. Nous allons montrer l'importance relative de la longueur de la ligne et de la fréquence du signal dans le phénomène de propagation.

PROPAGATION le long d'une ligne de transmission
partie (1/3)

phénomène de propagation			la vitesse de phase
lignes de transmission			calculs des caractéristiques
l'équation de propagation			ou des télégraphistes
				une collection d'icônes pour visiter tout le site

---

1. phénomène de propagation

vitesse finie d'une onde

Jusqu'alors on ne s'est pas posé beaucoup la question. On a toujours considéré que lorsque 2 points d'un circuit étaient réunis par un simple conducteur, le signal était identique aux deux extrémités des conducteurs au même instant. Pourtant dans la nature il semble bien que les signaux se propagent avec une vitesse finie.
Par exemple :

• un caillou, lancé dans une mare, provoque un système d'ondes qui se propagent en s'éloignant du point de chute du caillou,
• on a pu mesurer la vitesse du son, dans l'air c'est environ 340m/s
• la lumière se propage à 3.10⁸m/s, c'est très important, mais pas infini.

En ce qui concerne la propagation d'un signal électrique dans un cable de cuivre, elle se fait aussi à une très grande vitesse, mais ce n'est pas non plus l'infini. En conséquence la longueur de la ligne est un paramètre qu'il faudra prendre en compte. Simultanément la fréquence du signal intervient, ainsi une distance de 2000 km pour un signal à 50 Hz est équivalente du point de vue du comportement à 100 km à 1 kHz ou 1 cm à 1 GHz.

importance de la fréquence

Supposons un signal sinusoidal v_A = V cos (t + ) appliqué en A à l'instant t à l'entrée d'une ligne de longueur l. Si on appelle v_f la vitesse de propagation, le signal mettra le temps t₁ = l/v_f pour parcourir la distance AB

donc v_B = V cos [ ( t - t₁) + ] = V cos [ ( t - l/v_f) + ]



si t₁/T est > 1, alors le phénomène de propagation est important. Il est négligeable dans le cas contraire, en particulier en régime continu dès lors que le régime transitoire est achevé.

longueur d'onde

La figure précédente était une représentation temporelle du signal (en A ou en B), si maintenant on regarde ce même signal à un instant donné tout le long de la ligne, après le temps d'établissement t₁, on observe un ensemble ou une portion de sinusoïde.

Si x est la distance d'un point quelconque de la ligne par rapport à A

v = V cos [ (t- x/v_f) + ] = v (t, x)

En ce point on a le même signal qu'en A mais avec un retard x/v_j. Le signal est donc fonction de t et de x. Ce qui signifie que les équations différentielles que l'on va écrire, pour décrire ce signal dans un cas de figure donné, seront des équations aux dérivées partielles par rapport aux deux variables x et t.

Si l' on regarde ce qui se passe pendant un temps égal à la période T on constate que le signal a parcouru une longueur = v_j.T

v ( t, x) = V cos [ 2 (t/T - x/v_fT) + ] = V cos [ 2(t/T - x/) + ]

On voit que si x varie de , la phase varie de 2 et le cosinus reprend sa valeur initiale. Donc si l/ > 1 on a phénomène de propagation, c'est à dire soit l est grand, soit l est petit ( donc grand).

grandeurs spatiales et temporelles

En introduisant dans v(x,t) les quantités = v_j T longueur d'onde, = /v_j constante de propagation, k = /v_j nombre d'onde, on peut écrire

v (t, x) = V cos ( t - x + ) = V cos [ 2( ft - kx ) + ] = V cos [ 2(t/T - x/) + ]

et v_j = / = /T = f/k dans ces relations le numérateur représente une grandeur spatiale et le dénominateur une grandeur temporelle. Cette vitesse de phase v_j est constante dans les lignes dites non dispersives qui sont celles que nous allons étudier et auxquelles nous assimilerons fréquemment les lignes réelles. Quand celles-ci seront identifiées comme lignes dispersives on constatera que la vitesse de phase n'y est pas constante.

---

2. les lignes de transmission

quelques types de lignes

Le milieu diélectrique qui sépare les conducteurs (air, céramique, téflon, ...) joue un rôle important dans la vitesse de propagation du signal.

paramètres distribués

Considérons par exemple deux conducteurs parallèles. Ils sont en influence électrostatique caractérisée par la capacité C = Q/V , où Q est la charge portée par un conducteur et V la ddp entre les deux conducteurs. Le courant parcourant la ligne crée un champ d'induction magnétique B à son voisinage, avec réaction sur le circuit qui lui a donné naissance (self induction), caractérisé par L = /I où est le flux du vecteur B à travers la surface entourée par le conducteur.

Donc un élément de ligne peut être caractérisé par sa self, sa résistance série, sa capacité et sa conductance parallèle. Si on met bout à bout des éléments de ligne, les selfs s'ajoutent en série, tandis que les capacités s'ajoutent en parallèle. Par suite on va caractériser une ligne de transmission par ce qu'on va appeler les paramètres distribués (L, R, C, G) rapportés à une unité de longueur. Ainsi pour une longueur x on aura Lx, Rx, Cx, Gx. On négligera le plus souvent R et G bien qu'en réalité ils produisent un affaiblissement.

capacité par unité de longueur

Soit un cable coaxial dont le conducteur extérieur, à la masse, a un rayon r₂ tandis que le conducteur intérieur de rayon r₁ est au potentiel V = Vo. Le conducteur intérieur porte une charge Q par mètre qui crée à la distance r un champ électrique radial E_r lié au déplacement électrique D = _orE_r ( on rappelle E = - dV/dr =1/4_o q/r² dans le vide)
avec _o = 1/36 10⁹ F/m constante diélectrique du vide, et _r constante diélectrique relative du matériau isolant.

Le flux du vecteur déplacement D à travers une surface fermée S est égal à la charge contenue à l'intérieur de cette surface.

théorème de Gauss

ici la surface fermée est un cylindre de rayon r et de longueur l, comme E_r est radial le flux à travers les faces extrêmes du cylindre est nul,
donc = 2rlD_r = Ql et E_r = Q/ 2 _ror

et comme le champ dérive d'un potentiel il vient soit V_o = (Q/2 _or) Log (r₂/r₁)
et

self par unité de longueur, cas du coaxial

On va rappeler le théorème d'Ampère : la circulation du vecteur intensité du champ magnétique H le long d'un contour fermé est égale à la somme des courants entourés par ce contour
Or le champ magnétique s'exprime à partir du champ d'induction où µ_o est la perméabilité du vide 4.10⁷ henrys/m et µ_r la perméabilité relative du milieu voisine de 1 (sauf pour les matériaux ferromagnétiques).

Ici le contour est le cercle de rayon r, le champ est tangent à ce cercle, la circulation est donc 2rH_q = I,



sachant que L = /I . Le vecteur induction magnétique est perpendiculaire à la surface qui sépare le conducteur interne du conducteur externe (dans une coupe) donc on va écrire que l'élément de flux d = B dS avec dS = l.dr (élément de surface autour de r et d'épaisseur dr) en intégrant sur toute la surface donc entre r₁ et r₂ on obtient

d'où en H/m

influence des pertes

Deux éléments interviennent en pratique pour générer des pertes, d'une part, l'effet de peau et, d'autre part, l'imperfection de la capacité réelle.

effet de peau : lorsque un signal de fréquence élevée est véhiculé dans un conducteur on constate que les électrons se concentrent statistiquement à la périphérie du conducteur, tout se passe donc comme si le conducteur était ramené à un tube creux de diamètre extérieur égal à celui du conducteur, en d'autre termes la section utile est réduite et par conséquent la résistance accrue. On montre que l'épaisseur de la zone de conduction (épaisseur de peau) s'exprime par on en déduit évidemment la résistance à partir de la relation classique dans laquelle la section s s'exprimera à partir de l'expression de et du rayon du conducteur.

condensateur réel : est en pratique un condensateur C avec une conductance en parallèle caractérisée par un angle de perte avec de l'ordre de 10^-4 pour les meilleurs diélectriques. On remplace donc C par Y = G + jC

ligne bifilaire

Supposons une ligne bifilaire, c'est à dire constituée de 2 conducteurs parallèles, de section circulaire de rayon R, distants de 2a (cable téléphonique). Le même type de raisonnement que ci-dessus conduit à l'expression de la capacité et de l'inductance par unité de longueur et si a/R >> 1

microstrip

Soient 2 bandes conductrices planes de largeur b séparées par un isolant d'épaisseur a (circuit imprimé typique)

et

---

3. L'équation de propagation

équation d'onde

On examine un élément de ligne, supposée sans pertes, de longueur x qui se réduit donc au schéma ci-dessus dans lequel la convention est que le sens croissant des courants et tensions est de gauche à droite. La loi d'Ohm va donc s'écrire simplement : et On fait tendre x vers 0 et l'on admet que les lois des circuits continuent à s'appliquer , il vient alors les deux relations et En dérivant ces deux relations, la première par rapport à x et la seconde par rapport à t, et en remplaçant ensuite dans les expressions obtenues les termes di/dx pour la première et dv/dx pour la seconde par leur expression ci-dessus on obtient deux relations homogènes

et Ces deux équations doivent être résolues simultanément.

Si l'on tient compte des pertes, on doit écrire pour les deux dipôles,
d'une part et d'autre part et par suite

et ce sont les équations dites des télégraphistes

On montre en mathématiques qu'une solution de cette équation aux dérivées partielles est du type on va choisir v₁ et v₂ de type sinusoïdale ce qui donne donc l'expression suivante On obtient de la même manière i(x,t) en remplaçant V₁ par I₁ et V₂ par I₂.

vitesse de phase

Si l'on considère le premier terme de la relation ci-dessus, mis sous forme réelle, on s'aperçoit qu'on peut l'identifier au v de la toute première relation du chapitre soit v = V cos [ (t - x/v) + ] on en déduit immédiatement la vitesse de phase

Si l'on considère le second membre de l'équation, on y voit apparaitre une vitesse de phase égale à ce qui revient à dire que la solution générale de l'équation d'onde est la somme de deux ondes de même fréquence se propageant en sens inverse le long de la ligne. L'une est l'onde directe, l'autre est l'onde réfléchie. On montre que dans tous les cas de ligne examinés ici, donc la propagation est indépendante des dimensions de la ligne et de la fréquence du signal.

impédance et admittance caractéristiques

Les relations solutions de l'équation d'onde doivent satisfaire en tout point les lois des circuits que nous avons traduites par les relations et Nous allons les vérifier en dérivant v(x,t) par rapport à x et i(x,t) par rapport à t

on obtient

et Pour que l'égalité soit vérifiée entre ces deux expressions quels que soient t et x il faut et

alors i(x,t) devient

Donc, quels que soient x et t, il existe un rapport constant entre le courant et la tension de l'onde incidente et le même rapport au signe près pour l'onde réfléchie : c'est l'admittance caractéristique de la ligne

Pour un cable coaxial, l'impédance caractéristique est

notons par ailleurs que l'on peut aussi montrer que et écrire la solution de l'équation d'onde en conséquence.

puissance transportée

Rappelons tout d'abord quelques notions. La puissance instantanée dissipée dans un dipôle à l'instant t, P_inst = v(t).i(t) n'a pas de sens physiquement, seule la valeur moyenne P_moy, calculée sur un certain intervalle de temps, grand par rapport à la période, sera significative.

lorsque

Soit un dipôle parcouru par i(t) = Io cos (t + ) aux bornes duquel on a v(t) = Vo cos t ce qu'on peut mettre sous la forme exponentielle v(t) = Vo e^jwt

calculons S = (1/2)v*i = (1/2) Vo e^-jwt Io e^+j(wt+) = (1/2) VoIo e^j = (1/2) VoIo [cos+ jsin]

le conjugué de S s'écrit S* = (1/2) vi* = (1/2) VoIo [cos- jsin]
d'où (1/2)[ S + S*] = (1/2) IoVo cos = (1/4) [vi* + v*i] est la puissance moyenne dissipée dans le dipôle ce que l'on peut vérifier en effectuant l'intégration.

---

Donc la puissance qui se propage le long de la ligne est P =(1/4) [vi* + v*i] si l'on remplace v et i par les premiers termes des équations donnant v(x,t) et i(x,t) on obtient puissance que propage l'onde incidente vers les x croissants et de même est la puissance propagée par l'onde réfléchie vers les x décroissants.

On remarque que ces puissances sont constantes quel que soit x. Si l'on avait tenu compte des pertes, on aurait en pratique une expression du type où a est un coefficient d'atténuation. La puissance transportée diminuerait alors de manière exponentielle en fonction de x, c'est à dire lorsqu'on s'éloigne de la source. Il en serait évidemment de même pour la puissance réfléchie.