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	AVERTISSEMENT				dernière mise à jour 18 mars 2013

Introduction à l'automatique : asservissements (2/3)

méthodes de correction des SA			les classiques
PID pratique			tout en un
systèmes non linéaires			juste une intro
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correction des systèmes asservis

• notion de compensation, réseau correcteur

Le seul réglage de gain se traduit par une opération portant sur tout le lieu de transfert du système et la valeur optimale de K résulte alors d'un compromis entre la précision et la stabilité.

On voit sur la figure ci-dessus, cas d'un système sans intégration, qu'il serait intéressant de disposer d'un moyen de déformer la fonction de transfert K₁G afin de lui donner une marge de gain et une marge de phase suffisantes, mais en lui conservant un gain statique élevé (absolument nécessaire pour réduire l'écart de position dû aux perturbations). On va pouvoir opérer de deux manières différentes : soit en pratiquant une compensation par avance de phase qui consiste à augmenter la phase de K₁G pour chaque fréquence dans la zone à déformer; soit en pratiquant une compensation par contrôle intégral qui consiste à déformer la courbe K₂G (donc pour un réglage initial différent du gain pour lequel le système serait stable, mais insuffisamment précis) en se rapprochant des conditions d'un asservissement avec une intégration. Pour passer de la fonction G à la fonction F on peut placer dans la chaîne directe un élément de fonction de transfert F(p)/G(p) dont l'introduction va réaliser la compensation désirée. Ces éléments, appelés correcteurs ou compensateurs, le plus généralement placés dans l'étage basse puissance juste après le détecteur d'écart, peuvent être des éléments mécaniques ou électriques, passifs ou actifs. Nous verrons dans la suite en premier lieu la compensation par éléments passifs, puis ensuite comment en combinant éléments passifs et actifs (ampli_op) on peut obtenir un résultat très satisfaisant.

• compensation par avance de phase

Soit un asservissement instable ou peu stable, on va déformer son lieu de transfert de manière à obtenir après réglage en boucle ouverte l'aspect de la figure.

On va donc multiplier la fonction de transfert par un facteur complexe J(j) possédant une phase positive dans la région de la résonance. On peut ainsi introduire un facteur dérivé de la forme J(p) = 1+p dont le lieu de transfert est une demi-droite et l'avance de phase réalisée à la résonance () est arctgt. Pratiquement il est impossible d'obtenir un tel facteur dérivé avec un réseau passif et l'on se contentera d'un facteur d'avance de phase dont la fonction de transfert est de la forme et dont les coefficients a et b sont choisis de telle sorte qu'au voisinage de la résonance J(p) soit sensiblement = 1+p.

Le réseau le plus usuel correspondant à cette exigence est celui ci-dessous dont la fonction de transfert est :

a représente le facteur d'avance de phase et la constante de temps du réseau. L'avance de phase maximale correspond à

• compensation par retard de phase

Soit un asservissement stable mais dont le gain statique est insuffisant pour assurer la précision requise, supposé sans intégration. On va supprimer l'écart de position en introduisant une intégration dans la fonction de transfert en boucle ouverte sous forme d'un facteur de valeur infinie à la fréquence zéro, c'est le contrôle intégral pur.

On pourra aussi réduire l'écart de position en introduisant un facteur complexe dont le module est très grand aux basses fréquences et voisin de 1 aux fréquences élevées et n'introduisant donc pas de déphasage dans la région de résonance qui obligerait à réduire le gain. Cette compensation souvent appelée par retard de phase peut être réalisée par le réseau ci-dessous

dont la fonction de transfert est

• correction dans la branche de retour

Le cas le plus intéressant est celui où l'on introduit une fonction de transfert de la forme F=p dans la branche de retour, tel qu'une dynamo tachymétrique branchée sur l'arbre de sortie du moteur.

La fonction de transfert de l'ensemble devient alors, si KG(p) est celle de la branche directe, . L'effet stabilisant obtenu est analogue à celui qu'on abtiendrait avec un réseau correcteur à avance de phase placé en cascade.

Notons qu'il est permis de placer plusieurs réseaux correcteurs différents pour obtenir le résultat optimal.

• quadripôle à retard et avance de phase

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• PID pratique

On va réaliser un correcteur de type PID à l'aide d'ampli_op et de réseaux RC dérivateurs et intégrateurs

On dénombre quatre étages:

• le premier est le comparateur qui est chargé de faire la différence entre le signal mesuré M qui vient de la branche de retour via un capteur et la consigne C définie par un pont diviseur très fréquemment..
• Sa sortie sera donc E = C - M.
• le quatrième étage, est un amplificateur de gain - R₄/R₃ qui fournit donc une sortie proportionnelle à son entrée S= - (R₄/R₃)y

Cet étage est indispensable mais il n'est pas suffisant pour assurer un fonctionnement satisfaisant. En effet lorsque l'écart devient inférieur à un certain seuil, sa tension de sortie devient insuffisante pour provoquer une modification du régime de l'étage de puissance. Ce qui revient à dire que l'écart entre la grandeur mesurée et la valeur souhaitée ne pourra jamais être nul en régime permanent. La précision serait donc insuffisante.

De plus, il y a de fortes chances qu'un tel dispositif soit sujet à un phénomène de pompage, c'est à dire que la grandeur de sortie oscille constamment autour de la valeur souhaitée, avec une amplitude qui parfois atteint des proportions absolument inadmissibles. Les étages de correction intégrale et dérivée seront chargés de compenser ces défauts.

• le deuxième étage est du type intégrateur, il fournit une sortie x = (1 + 1/T₁p)(C - M)
  où p = j et T₁ = R₁C₁ est la constante de temps de l'intégrateur. Cet étage permet d'augmenter sensiblement la réponse quand l'écart est important et garantit un écart nul en régime stable, ce que l'on ne peut obtenir avec un seul étage proportionnel.
• le troisième étage, du type dérivateur, produit y = (1 + T₂ p) x avec T₂ = R₂C₂ . L'utilité de ce montage est d'améliorer la vitesse de réponse en anticipant le passage à zéro de l'écart.

Toutes les résistances sont évidemment réglables ce qui permet l'ajustement des coefficients relatifs du PID afin d'obtenir le meilleur compromis possible entre l'amortissement et l'amplitude du premier dépassement (il est souhaitable, en effet, de le limiter si l'on ne veut pas risquer des incidents graves, mais c'est au détriment de la rapidité de l'amortissement).

Notons qu'à l'aide d'amplificateurs opérationnels et de réseaux passifs ad hoc on peut réaliser des fonctions encore plus sophistiquées en particulier en rajoutant un (ou des) étage(s) de filtrage susceptible(s) d'éliminer des composantes indésirables tel le secteur 50Hz.

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systèmes non linéaires

Un système non linéaire est essentiellement un système dont les caractéristiques varient avec son état physique ou dans le temps. Ce sera le cas, en particulier, des systèmes pour lesquels la variation d'amplitude du signal de sortie, en fonction de celle du signal d'entrée, n'est pas représentée par une droite, ou encore des systèmes à fonctionnement discontinu. Ils satisfont à des équations différentielles non linéaires ou à coefficients non constants. En général on se contente de solutions approchées en faisant des hypothèses simplificatrices permettant de les traiter comme des systèmes linéaires.

• causes de non linéarité

Parmi les non linéarités accidentelles on trouve le seuil, la saturation, la courbure des caractéristiques des composants actifs, les frottements solides, les pertes par hystérésis : ces causes n'affectent la linéarité que pour des signaux faibles ou au contraire forts, et, dans un domaine relativement étendu de variation, la caractéristique peut être considérée comme linéaire.
C'est pratiquement le cas de tous les systèmes asservis.

Il existe aussi des systèmes non linéaires par construction dont le fonctionnement discontinu le plus souvent n'a rien de linéaire (systèmes à fonctionnement par tout ou rien par exemple).

• Etude des systèmes non linéaires

Pour un système linéaire on définit la fonction de transfert à partir d'essais sinusoïdaux. On effectue une coupure dans la chaîne directe, le plus souvent au niveau du détecteur ou en un point où s'introduit une perturbation, ou sinon en un point où la coupure est facile à réaliser et où les mesures expérimentales sont commodes. Et on applique à l'entrée de la coupure un signal sinusoïdal e = e₀sint et l'on recueille à l'autre extrémité de la coupure s = s₀sin(t+j) ce qui pour chaque fréquence permet de déterminer l'amplitude A = s₀/e₀ et la phase f de KG(j) puis de tracer dans le plan de Nyquist le lieu représentatif de la fonction de transfert. Grâce aux propriétés de linéarité A et f sont fonction de la fréquence et non de l'amplitude d'entrée.

Si on cherche à étendre ce procédé à un système non linéaire, on est conduit à étudier la sortie pour une entrée harmonique e=e₀sint. Cette sortie est en général périodique mais non sinusoïdale, c'est pourquoi on définit par convention une fonction sinusoïdale s₁(t) = s₀sin(t+) que l'on qualifie d'équivalent à s(t) et qui permet de définir une fonction de transfert équivalente. Pour s₁(t) on prend généralement le premier harmonique de s(t).

La différence avec le cas linéaire se traduit par les deux faits suivants :

• la fonction de transfert obtenue dépend de mais aussi de l'amplitude d'entrée e₀. On n'a plus un lieu de transfert mais une famille de lieux de transfert, un par amplitude d'entrée.
• il ya un élément arbitraire dans le choix de la sinusoïde équivalente de la sortie.
  
• stabilité des systèmes non linéaires

Un tel système peut se représenter par le diagramme fonctionnel suivant, dans lequel L(p) représente la fonction de transfert des organes linéaires.

Le système comprend en effet deux sortes d'organes : les organes linéaires représentés par un lieu de transfert L(j) gradué en fréquence, les organes non linéaires caractérisés, dans le cadre de l'approximation du premier harmonique, par leur lieu critique -1/N(₁) gradué en amplitude. La fonction de transfert généralisée en boucle ouverte apparaît ainsi comme un produit N(₁)L(j) dont le premier facteur caractérisant l'élément non linéaire est fonction de l'amplitude seule et le second caractérisant les éléments linéaires est fonction de la fréquence seule.

On a vu d'après le critère du revers qu'un système linéaire est stable si le lieu de Nyquist G(j) parcouru dans le sens des fréquences croissantes laisse le point critique -1/K à sa gauche. Cette propriété peut s'étendre aux systèmes non linéaires. Lorsque ₁ est constant N(₁) est un nombre fixe et on peut assimiler le système à un système linéaire de fonction de transfert N(₁)L(p). Le système est stable pour l'amplitude ₁ si le lieu de transfert laisse à sa gauche le point critique.

On peut donc définir la stabilité du sytème mais en précisant dans quelles conditions, c'est à dire pour quel ₁ (ou quelle gamme d'amplitude). Et, comme pour les systèmes linéaires, on pourra améliorer les performances à l'aide de correcteurs de compensation.