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Introduction à l'automatique : systèmes asservis (1/3)

notion d'asservissement linéaire
la boucle fermée
méthodes d'étude des SA
réponse à un signal
méthodes mathématiques d'étude
régimes et perturbations
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introduction

Dans les chapitres concernant les oscillateurs ou les filtres on a introduit la notion de système bouclé et celle de contre-réaction, nous allons généraliser ce concept à ce qu'on appelle les systèmes asservis et plus particulièrements aux asservissements linéaires qui sont évidemment un cas particulier plus simple à gérer que les asservissements non linéaires qui sont le cas général.
chaîne fermée : notion d'asservissement linéaire

Lorsqu'on souhaite contrôler un dispositif on réalise un système en boucle fermée schématiquement représenté comme ci-dessous


Sur cette figure on distingue cinq éléments fondamentaux typiques d'un asservissement:

un comparateur dont le rôle est de faire la différence entre la valeur mesurée de la grandeur que l'on veut asservir (c'est à dire la grandeur contrôlée à un coefficient multiplicateur près fonction du type de capteur mis en jeu) et la valeur, dite de consigne, que l'on voudrait obtenir. Le rôle de l'asservissement est évidemment de maintenir cette différence la plus proche possible de zéro à tout instant.
un amplificateur à plusieurs étages, généralement de type PID ou équivalent, chargé d'amplifier judicieusement l'écart mis en évidence par le comparateur afin d'apporter le plus rapidement possible une correction.
un étage de puissance qui est directement responsable de l'obtention de la grandeur pilotée.
un capteur chargé de mesurer en permanence la valeur de la grandeur asservie
un dispositif correcteur qui pourra être intégré en n'importe quel point de la chaîne (généralement là où c'est le plus facile), éventuellement dans l'amplificateur ou, comme sur ce schéma, dans la boucle de retour et destiné à améliorer le comportement d'ensemble en minimisant les oscillations susceptibles de se produire autour de la valeur de consigne.

On note aussi sur la figure la présence d'une entrée dite de perturbation. En effet dans un système réel, l'une des difficultés à surmonter pour obtenir une régulation fine provient du fait qu'il existe des causes de perturbation extérieures, généralement complètement aléatoires qu'il conviendra cependant d'identifier et d'évaluer. Il va de soi que la (ou les) perturbation(s) peu(ven)t se produire en n'importe quel point de la chaîne mais qu'une même perturbation aura une importance relative différente selon qu'elle se place en amont ou en aval d'un étage d'amplification.

Les équations montrent que les dispositifs correcteurs que l'on est amené à placer pour contrer justement les effets néfastes et oscillatoires des perturbations peuvent être placés n'importe où dans la chaîne, mais on va privilégier l'endroit de celle-ci où le rapport qualité-prix d'un tel dispositif sera le meilleur et l'expérience nous apprend que c'est évidemment là où un tel dispositif pourra être purement électronique, c'est à dire de conception plus aisée, de coût réduit, de faible puissance et d'ajustement généralement plus simple. Il arrive cependant qu'un système mécanique se révèle plus efficace, chaque cas étant un cas particulier.

Notons que la partie dite amplificateur est typiquement électronique et fait appel le plus souvent à un ou des étages à amplificateurs opérationnels, tandis que le contrôleur de puissance est un dispositif qui convertit la tension de sortie de l'ampli, elle-même proportionnelle à l'erreur ou fonction plus ou moins complexe de celle-ci, en une grandeur pas forcément électrique ( par ex: vitesse de rotation d'un moteur, température d'un four, intensité lumineuse...) mais souvent avec une puissance mise en jeu tout à fait considérable (ex l'alternateur d'une centrale électrique met en jeu des centaines de mégawatts).

classification

Il existe différents types d'asservissements linéaires : asservissements de position que l'on appelle parfois servo-mécanismes ou systèmes suiveurs, les régulateurs ou asservissements de vitesse dont les caractéristiques essentielles diffèrent sensiblement.

Dans un asservissement, dit de position, la grandeur d'entrée et celle de sortie sont de même nature (ex: une position angulaire). La transmittance de la chaîne ouverte caractérise alors complètement le système puisque c'est la totalité de la grandeur de sortie qui est ramenée à l'entrée. On parle alors de retour unitaire.

.

et la transmittance de la chaîne complète s'exprimera par

Dans un régulateur la caractéristique fondamentale est que la grandeur d'entrée est de nature différente de celle de sortie (par ex dans un régulateur de vitesse la grandeur contrôlée est un nombre de tours/mn tandis que la grandeur d'entrée sera typiquement une ddp. Dans ce cas il y a naturellement une transmittance différente de 1 entre la sortie et le retour sur le comparateur.

.

et la transmittance du système devient le retour n'est plus unitaire.


Notons que si dans un asservissement de position on peut obtenir = 0, ce n'est pas le cas dans un régulateur car c'est qui engendre la grandeur de sortie. On peut d'ailleurs le montrer en représentant le régulateur par un autre schéma équivalent au précédent c'est-à dire un système à retour unitaire suivi en cascade d'un bloc de transmittance 1/H(p).


qualités d'un asservissement

On distingue deux caractéristiques essentielles, mais contradictoires, la stabilité et la précision. En effet, intuitivement, pour avoir une grande précision on va augmenter le gain de l'ampli et, ce faisant, on va réduire la stabilité et risquer de provoquer des oscillations (cf condition de Nyquist pour les oscillateurs). De plus on souhaite un temps de réponse réduit (c'est à dire un régime transitoire court). On voit donc que ce qui va permettre d'optimiser le régime permanent a toutes les chances de dégrader le régime transitoire, qui en outre devra prendre en compte les perturbations extérieures que l'on ne maitrise généralement pas puisque par nature elles sont aléatoires.On va donc devoir étudier cela minutieusement.

méthodes d'étude des systèmes asservis

L'étude consiste à identifier la réponse non seulement vis à vis du signal d'entrée mais aussi vis à vis des perturbations. En pratique on va utiliser deux méthodes : soit on applique un signal non sinusoïdal de forme bien précise et choisi judicieusement selon le problème (échelon, rampe...) et l'on détermine la réponse complète (régime transitoire et permanent), soit on applique un signal sinusoïdal suffisamment longtemps pour que le régime soit devenu permanent et l'on va représenter le module et la phase du signal de sortie en fonction de la fréquence. La première méthode donne plus d'information, mais la seconde est généralement plus facile à mettre en oeuvre. On va considérer, dans la suite, un asservissement de position que l'on soumet ici à un échelon, réalisé en changeant brusquement la consigne.


Sur le diagramme ci-dessus on a représenté une réponse typique : en orange on a le signal d'entrée (consigne) c'est à dire un échelon, en bleu l'évolution du signal de sortie qui en résulte. Si l'asservissement était parfait la courbe bleue devrait se superposer à celle en orange. La réalité est moins satisfaisante et sur cette réponse nous identifierons plusieurs grandeurs:
  • tout d'abord le temps de montée tm , c'est le temps au bout duquel la sortie a atteint 90% de la valeur finale
  • le premier dépassement : son amplitude ne doit pas dépasser de plus de 30% la valeur finale (50% étant généralement considéré comme prohibitif et souvent dangereux pour le dispositif). Notons que plus tm sera court et plus, généralement, le dépassement sera important.
  • ce premier dépassement est suivi d'une évolution en forme de sinusoïde amortie
  • le temps de réponse tr caractérise le temps mis par le système pour être stabilisé à plus ou moins 5% de la valeur finale, temps considéré comme correspondant sensiblement à la disparition du régime transitoire. On notera que ce temps est en corrélation avec l'importance du premier dépassement
  • L'optimisation de la réponse d'un asservissement sera donc le meilleur compromis possible entre une montée rapide, un dépassement pas trop important (donc un amortissement important lequel augmente le temps de montée mais réduit le temps de réponse) et une fréquence propre d'oscillation non nuisible au système. Généralement ce compromis ne pourra être obtenu que par l'ajout de dispositifs correcteurs.

Supposons que l'on applique comme signal d'entrée e(t) = at, c'est à dire un échelon de vitesse. Comme le montre le graphique on va avoir une oscillation de la sortie autour de la valeur de l'entrée et un régime permanent qui sera finalement systématiquement en retard sur l'entrée, ce qu'on caractérise par l'erreur de vitesse V encore appelée de manière plus imagée l'erreur de traînage.

Précisons que si l'on appliquait une entrée du type e = bt2 on pourrait de même définir une erreur d'accélération

On peut aussi appliquer en entrée une impulsion de Dirac (c'est-à dire la dérivée d'un échelon) on obtient alors exclusivement la réponse transitoire. Notons que ceci est rigoureusement vrai mathématiquement, mais qu'il n'est pas évident physiquement de créer un Dirac. C'est ce que l'on appelle la réponse en régime harmonique. On applique alors à l'entrée du système un signal sinusoïdal d'amplitude constante, on le maintient suffisamment longtemps pour que le régime transitoire soit disparu et l'on va examiner la réponse en amplitude et en phase du système en fonction de la fréquence.


En pratique on va chercher à tracer le lieu de transfert c'est à dire la représentation graphique dans le plan complexe de la fonction de transfert pour toutes les valeurs de . On dispose en effet de deux représentations exploitables soit le diagramme de Bode ci-dessus (à droite) qui exprime sur deux courbes séparées d'une part l'amplitude et, d'autre part, la phase en fonction de la fréquence, soit le diagramme de Nyquist (ci-dessous) qui concentre l'ensemble des mêmes informations sur un unique diagramme dans le plan complexe.


Le diagramme de Nyquist a notre préférence car il permet d'un simple coup d'oeil d'identifier les résonances éventuelles et, in fine, la marge de stabilité de l'asservissement. En effet tout point du lieu de transfert, situé à une distance maximale de l'origine, correspond à une résonance. Le rapport du rayon vecteur à cette fréquence à celui à la fréquence zéro, si ce dernier est fini, caractérise le facteur de résonance du système pour la résonance considérée.

Aux fréquences très grandes correspond presque toujours la portion du lieu voisin de l'origine. Ceci s'explique facilement du fait de l'inertie des pièces mécaniques aux grandes fréquences. La tangente au lieu de transfert à l'origine dépend de la différence de degrés du numérateur et du dénominateur de la fonction de transfert et caractérise l'ordre du système.

Le point de fréquence zéro du lieu de transfert correspond au fonctionnement du système en régime statique. Ce point est souvent à l'infini : ce sera le cas, par exemple, d'un moteur électrique si l'on prend comme grandeur de sortie la position angulaire de l'arbre. En effet, une tension constante appliquée à l'induit donnera non une position mais une vitesse angulaire définie, dans ce cas la fonction de transfert admet un pôle simple à l'origine, on dit qu'elle possède une intégration.

méthodes mathématiques d'étude des SA

La transmittance peut s'exprimer par où K représente la transmittance pour p = 0, c'est-à dire le gain statique du système. On l'exprime aussi sous une autre forme où les coefficients zi sont les zéros et pi les pôles du système. Comme ces quantités sont complexes on va les représenter dans le plan complexe et en déduire une méthode d'analyse de l'asservissement.

régime permanent La transmittance peut s'écrire sous la forme avec a = 0,1,2...
On va définir une

constante de position Kp = lim T(p) pour p = 0
constante de vitesse Kv = lim pT(p) pour p = 0
constante d'accélération Kg = lim p2T(p) pour p = 0
On a

Un échelon de position c'est E = constante, par exemple E = E1, alors E(p) = E1/p et en appliquant le théorème de la valeur finale
p = lim (t) quand t tend vers l'infini = lim p(p) quand p tend vers zéro = lim E1/[1+KG(p)], soit
On voit que si l'on a affaire à un système de type zéro [a = 0 dans l'expression de T(p)] pour lequel Kp vaut alors K, l'erreur de position est non nulle, par contre dans les systèmes d'ordre plus élevés (a = 1,2...) alors Kp est infini et p est nulle.

Le même raisonnement vaudra pour un échelon de vitesse du type (t) = 1t. Nous montrerons aisément que l'erreur de vitesse sera non nulle pour un système de type 1, infinie pour un système de type 0, mais nulle pour tout système ayant a > 1

E(p) =1/p2
v = lim (t) = lim p (p) = lim 1/[p+pKG(p)] = 1/Kv or Kv vaut 0 pour a = 0, K pour a = 1 et l'infini pour a > 1

perturbation

Supposons qu'elle intervienne en un point donné de la chaine directe, on va le représenter comme ci-dessous, à gauche.


Le système étant supposé linéaire on peut appliquer le théorème de superposition et ne s'intéresser séparément qu'à la perturbation. Le schéma de gauche va donc devenir celui de droite qui ressemble alors à quelque chose de connu. On peut donc écrire en supposant une perturbation de type échelon


si on appelle la transmittance du système en boucle fermée, on peut écrire

Ce qui montre que l'erreur liée à la perturbation dépend de W (système complet : figure de gauche) et de T1 c'est-à dire de la partie de la boucle qui est en amont de la perturbation. En régime permanent, on obtient évidemment pour l'erreur de position pb = lim (t) pour t infini = lim p(p) pour p tendant vers zéro = B1lim W/T1

On va donc avoir plusieurs cas possibles selon la nature de T1

Si T1 possède au moins une intégration ( avec a > 0 ) lorsque p tend vers 0, T1 tend vers l'infini et W vers 1 donc pb = 0 et il n'y a aucune erreur de position.

Si T1 ne possède pas d'intégration, tout dépend de T2 : s'il a une intégration, la limite de pb est B1/K1; si T2 ne possède pas d'intégration, la limite est pb = B1/[K1+1/K2]. Dans les deux cas il y a erreur de position.

erreur globale

En appliquant le principe de superposition, on obtient la réponse globale du système . Dans le cas le plus défavorable, on aura une erreur égale à la somme des valeurs absolues des 2 erreurs calculées précédemment.

procédure pratique

Il arrive fréquemment que l'on ne sache pas mettre le système en équation, ou qu'on sache le mettre en équation mais qu'on ne puisse déterminer a priori les valeurs numériques des divers coefficients entrant dans l'équation : dans ce cas l'expérimentation est incontournable. On va donc procéder expérimentalement à l'identification en boucle ouverte (ce qui permet de mesurer KG(j)) et l'on va examiner essentiellement la stabilité, en remarquant qu'un système asservi est stable si le polynôme 1+KG(p) = 0 ne possède pas de racines dans la partie droite du plan complexe ni sur l'axe imaginaire, en d'autres termes si ses zéros sont dans la partie gauche. C'est cette propriété que précise graphiquement le critère du revers qui s'énonce : un système linéaire est stable si, en décrivant le lieu de transfert en boucle ouverte dans le sens des fréquences croissantes, on laisse le point critique -1+ j0 à sa gauche.


En pratique cette condition n'est pas suffisante car des composants peuvent dériver (en particulier sous l'effet de grandeurs d'influence telle la température) ou vieillir, d'autre part il est possible que la réponse transitoire soit trop longue par défaut d'amortissement. On s'attachera donc à obtenir une certaine marge de stabilité (marge de gain au moins égale à 12dB et marge de phase de 45°): la marge de phase est le déphasage supplémentaire qui dans la zone de résonance en boucle fermée ferait passer le lieu de transfert de l'autre coté du point critique.

De même la marge de gain caractérise la quantité, exprimée en décibels, dont on peut augmenter le gain en boucle ouverte sans provoquer l'instabilité
( Gm = - 20 log |KG(j)| pour = 1 ).