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INFORMATION dernière mise à jour
18 mars 2013
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Analyse des circuits 3/4

analyse de Laplace
le problème
principe de la transformée
une idée géniale
propriétés essentielles
les principales
théorèmes
cas particuliers bien utiles
exemples et table des transformées
à mémoriser ou non
applications
pour savoir s'en servir
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Avertissement : certains lecteurs, en particulier traiteurs de signal et/ou automaticiens, seront sans doute étonnés de ce chapitre qui fait la part belle à l'analogique à l'époque du tout numérique et qui préfigure un chapitre sur les asservissements qui insistera lui aussi sur l'analogique. Alors pourquoi cette apparente ringardise? La réponse provient des très nombreux mails quotidiens que je reçois, en particulier d'étudiants en EEA, et qui par leurs questions ou leur contenu me montrent à l'évidence que l'automatique version tout numérique n'a pas été bien assimilée. On a trop tendance à se concentrer sur les modèles théoriques, c'est à dire à faire joujou avec l'ordinateur, et à oublier la physique...avec des résultats souvent aberrants (notez chaque fois que vous entendez dans les médias qu'un constructeur automobile doit rappeler des centaines de milliers de véhicules pour cause de pièce de conception défectueuse, souvent après décryptage du langage codé employé par ledit constructeur, on découvre qu'il s'agit bien d'un système asservi qui est en jeu. Ceci n'est qu'un exemple généralement médiatisé, mais il y en a beaucoup d'autres). Donc pour réagir contre cette tendance à confondre fantaisie mathématique et réalité expérimentale j'ai décidé d'ajouter un chapitre sur les asservissements où la physique ne sera pas oubliée.

Analyse de Laplace.
Laplace fut un immense physicien qui sut maîtriser l'outil mathématique pour le mettre au service de la technologie. Il nous a légués une méthode particulièrement élégante pour résoudre les équations différentielles d'ordre élevé et particulièrement pertinente pour l'étude des systèmes, qu'il s'agisse de systèmes purement électriques, mécaniques... ou mixtes. On présente par ailleurs dans ce site la transformée de Fourier qui permet l'étude des signaux stationnaires et des régimes établis mais qui se révèle inadéquate pour les régimes transitoires qui comportent souvent des sinusoïdes amorties, c'est au contraire le domaine privilégié de la transformée de Laplace.

Selon les auteurs et les périodes la méthodologie due à Laplace a porté des noms différents : analyse de Laplace, calcul symbolique, calcul opérationnel, analyse harmonique.

On sait exprimer les courants et tensions dans un système soumis à un signal sinusoïdal en exploitant les grandeurs complexes qui conduisent à la connaissance exclusive du régime définitif (ou stationnaire). Si le signal est périodique on usera de la décomposition de Fourier. Mais comment savoir ce qui se passe dans la phase d'établissement du courant, ce qu'on appelle le régime transitoire. Il nous faut généralement résoudre une équation différentielle, il en est de même lorsqu'on à affaire à un signal quelconque variant avec t.


L'entrée x et la sortie y sont liées par une équation différentielle du type général


Dès que l'ordre de cette équation différentielle dépasse 2 la résolution mathématique devient compliquée. Aussi fera-t-on appel à la méthode de Laplace qui permet de substituer une équation algébrique plus aisément résolvable à l'équation différentielle par le biais d'une transformation astucieuse.
Cette technique ainsi qu'on va le montrer présente de nombreux avantages. En effet, elle permet d'obtenir soit à la fois le régime transitoire et le régime définitif, soit, de façon très rapide, le seul régime initial ou le seul régime final.

Cette méthode va nous permettre outre l'analyse des systèmes généraux décrits par une équation différentielle, l'analyse des circuits électriques, l'expression des fonctions de transfert, des réponses harmonique, impulsionnelle ou indicielle d'un système.

Principe de la transformée

A toute fonction f(t) nulle pour t<0 (ce qui sera évidemment le cas pour les courants ou tensions dans un circuit non alimenté et dont on fermera l'interrupteur d'alimentation à l'instant dit initial pour lequel on définira t=0) on fait correspondre une fonction F(p) de la variable complexe p. On admettra souvent que p est de la forme +j . On dira que F(p) est l'image de la fonction f(t) laquelle sera appelée l'original. On note parfois F(p) sous la forme en particulier dans les ouvrages anglo-saxons dans lesquels la variable complexe p est alors notée s le plus souvent.

La fonction F(p) est par définition

Cette fonction F(p) n'est pas toujours calculable, mais si f(t) est du type équation différentielle linéaire à coefficients constants, la transformation s'applique sans problème.

Propriétés essentielles

somme si f(t) = f1(t) + f2(t) alors

produit par une constante f(t) = a f1(t) alors F(p) = a F1(p)

dérivation/intégration F(p) peut être obtenue par intégration par parties

rappelons les relations suivantes d(uv) = udv + vdu et si l'on choisit f(t)=u et e-ptdt=dv on voit immédiatement que du=f''(t)dt et v=-e-pt/p en multipliant par p il vient et l'intégrale par définition est F'(p)

Si maintenant on se rappelle la décomposition d'une exponentielle, le terme entre crochets devient en conséquence pF(p) = f(0) + F'(p)

Notons qu'en pratique f(t)=0 pour t<0 et que le plus souvent on a aussi f(0) = 0 ce qui induit pF(p) = F'(p)

Bien évidemment on peut démontrer de la même façon que F"(p) = p F'(p) - f''(0) soit puisque f"(0) = 0 le plus souvent, etc..

pn F(p) = F(n) (p)

Théorèmes de la valeur finale et de la valeur initiale

Connaissant F(p) on peut revenir à f(t), mais il arrive que les calculs soient longs et/ou fastidieux ou que l'on ne s'intéresse qu'à la valeur initiale ou finale de f(t). On peut aisément calculer f(0) et f(infini) à partir de F(p) sans repasser par f(t). En effet :

Quand t tend vers zéro f(t) tend vers pF(p) pour p tendant vers l'infini ce qui revient à dire

f(0) = limite de pF(p) pour p tendant vers l'infini

de même f(infini) = limite de pF(p) pour p tendant vers zéro ce qui se démontre aisément.

en faisant soit p tendant vers l'infini, soit p tendant vers zéro on obtient les résultats ci-dessus

Théorème du retard

Soit f(t) nulle pour t<0 ou t=0 considérons g(t) = f(t-t0) en retard de t0 sur f(t) si l'on pose t-t0=u il vient . Un retard de t0 sur les fonctions du temps se traduit par une multiplication par e-pt0 sur les grandeurs de Laplace associées.

application pratique : Prenons exemple d'un signal rectangulaire de hauteur A et de durée t. Il peut être considéré comme la somme d'un échelon A suivi à l'instant t d'un échelon -A qui s'ajoute à +A pour faire zéro et donc

exemples de transformées classiques

échelon f(t) = A soit soit

rampe f(t) = At soit f''(t) = A en comparant avec la ligne du dessus on obtient directement F'(p) = A/p or on sait que pF(p)=F'(p) d'où

exponentielle f(t) = e-at on montre facilement que

fonction sinusoïdale f(t) = sin wt
on écrit en posant a =-jejt =jsint + cost et on exprime à partir du résultat précédent que l'image de ejt est 1/p-j soit en séparant la partie imaginaire de la partie réelle on obtient :

table des transformées courantes

On peut continuer et établir la table suivante qui suffit amplement à traiter tous les cas pratiques que l'on rencontre en électronique, car les fonctions plus complexes peuvent toujours être considérées comme des combinaisons linéaires de ces fonctions élémentaires.

image F(p) original f(t) 
A
e-at
t e-at
at
sinwt
shwt
coswt
ch wt
e-atsin wt
e-atsh wt
e-atcos wt
e-atchwt
Applications de la transformée de Laplace

Résolution de système

La méthode est la suivante, supposant que D(p) possède des pôles p0, p1, p2,...pn on peut écrire Y(p) sous la forme Notons qu'il existe parfois un pôle multiple

Alors soit en décomposant

Un autre cas particulier est celui où les pôles sont imaginaires conjugués

avec p0 = a +jb et p*0 = a-jb

on aura alors avec A0 = A ej et A1 = A e-j

la réponse est alors du type Aej e(a+jb)t + Ae-j e(a-jb)t = 2A eat cos (bt+)

illustration de la méthode

Soit le circuit très simple ci-dessous. Pour t>0 on fait u(t)=E = constante. On cherche i(t)


On va résoudre ce système en introduisant la transmittance de Laplace, c'est à dire T(p) qui est une fonction égale à Y(p)/X(p) où Y représente la sortie et X l'entrée.
Pour les éléments passifs RLC on a vu dans le premier chapitre les expressions fondamentales des courants
u=Ri, , la transformation de Laplace, dans chacun de ces éléments pris séparément, en se rappelant pF(p) = F'(p), conduit aux relations suivantes :

U(p) = R I(p), U(p) = Lp I(p) et I(p) = Cp U(p) d'où on tire les impédances dites opérationnelles R, Lp et 1/Cp. Notons que ces impédances opérationnelles s'expriment comme les impédances complexes si l'on remplace j par p.
Résolvons donc notre système. La loi d'Ohm nous permet d'écrire u(t) = R i(t) + Ldi/dt équation différentielle très simple que l'on pourrait facilement résoudre par la méthode mathématique traditionnelle, mais il s'agit d'un exemple pédagogique et l'on va exploiter la transformée de Laplace. Les relations ci-dessus nous permettent d'écrire puisque u(t) = E que U(p) sera E/p on obtient donc aisément d'où on tire I(p) qu'on décompose ensuite soit

On multiplie par p les deux membres (encadrés en rouge) de l'équation, puis fait p=0, il vient A = E/R

De la même manière on multiplie par p + R/L fait p = -R/L ce qui conduit à B = -E/R

On remplace dans le dernier membre de l'équation A et B par leurs valeurs ce qui donne, après mise en facteur,

La table des transformées nous donne pour 1/p l'original soit 1 et pour 1/(p+R/L) une exponentielle e-Rt/L

d'où le résultat bien connu

Dans la page suivante nous présentons quelques exercices (et leurs solutions) autour de la transformée de Laplace afin de familiariser le lecteur avec cette méthode.