Un signal

Signaux sinusoïdaux

sinusoïdal de période T est de la forme . Rappelons que E_M est la valeur maximale, la valeur efficace, la pulsation, la phase. Dans un circuit, tel celui ci-dessous, l'évolution de la tension aux bornes de l'élément capacitif sera obtenue en résolvant l'équation différentielle obtenue en appliquant la loi d'Ohm.

soit	d'où on tire :
avec

On montre en mathématiques que la solution se compose de la solution de l'équation du second membre (pour e = 0) et d'une solution particulière de l'équation complète qui dépend effectivement de e. On va d'abord s'intéresser au cas particulier où e est de type sinusoïdal. Dans ce cas l'écriture de la loi d'Ohm va pouvoir se mettre sous une forme plus simple. On dispose alors de deux outils mathématiques soit la représentation vectorielle de Fresnel où les paramètres qui nous intéressent sont des vecteurs représentés dans un plan (dit plan complexe) et définis soit par leur composantes horizontale et verticale, soit par leur module et un angle dit de déphasage; soit tout simplement via des nombres complexes comportant une partie réelle et une partie imaginaire (ou un module et un argument qui nous ramènent à la représentation graphique).

Dans l'expression on note que pour t = 0 l'angle sera et lorsque t croît on voit que le vecteur représentatif E de cette fonction dans le plan complexe va simplement tourner autour de 0 en conservant le même module de longueur E_M.

Notons que pour des raisons typographiques nous noterons les vecteurs par leur module en soulignant le nom de celui-ci : E

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Dans cette représentation complexe les relations vues précédemment et concernant les éléments passifs vont nous amener à la notion d'impédance complexe.

résistance : la loi d'Ohm u = Ri s'exprime dans le plan complexe par U = RI avec U et I colinéaires de l'horizontale car R est une quantité réelle, ce qui revient à dire qu'entre U et I il n'y a aucun déphasage quel que soit t.

inductance : l'équation s'écrit maintenant U = jLI et se représente graphiquement comme ci-dessous à gauche et l'on voit que le vecteur tension est en avance sur le vecteur intensité de /2. Rappelons que j est un opérateur qui fait tourner la quantité qu'il multiplie de /2 (et l'on a par conséquent j² = -1, notons encore qu'on le note parfois i en mathématiques et s dans les ouvrages en langue anglaise).

impédance complexe d'une inductance	cas d'une capacité

capacité : l'équation s'écrit maintenant I = jCU et se représente graphiquement comme ci-dessus à droite et l'on voit dans ce cas que le vecteur tension est en retard de /2 sur le vecteur intensité.

Le rapport entre U et I s'appelle impédance complexe et on le note généralement Z tandis que son inverse sera l'admittance Y

pour une résistance	Z = R	Y = 1/R
pour une inductance	Z = jLw	Y = 1/jLw
pour un condensateur	Z = 1/jCw	Y = jCw

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circuit série

Ainsi la loi d'Ohm dans notre circuit série ci-dessus va s'écrire dans le cas d'un signal sinusoïdal sous forme d'une relation algébrique

E = (R + jL - j/C) I = Z I

dans laquelle les modules de E et de I représenteront les valeurs efficaces de la tension aux bornes du circuit et du courant le traversant. En reprenant la notation de Fresnel on pourra exprimer l'impédance par son module Z et un déphasage déterminé par sa tangente


On remarquera évidemment que si la pulsation varie, tant le module que le déphasage vont varier en fonction du terme . Ainsi l'impédance va passer par un minimum lorsque ce terme sera nul (dans ce cas Z = R et ), c'est la résonance, et tendre vers zéro lorsque tendra vers zéro ou l'infini. Parallèlement la phase passera par zéro pour = ₀, et tendra vers -/2 pour tendant vers zéro et +/2 pour l'infini.

Notons enfin qu'à la résonance la tension aux bornes de l'inductance pure est très élevée et vaut L₀ U/R et on appelle facteur de surtension ou coefficient de qualité la quantité Q = L₀/R (notion importante dans le chapitre sur le transistor en haute fréquence).

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circuit parallèle : On exploite le principe dit de dualité pour montrer que son étude se ramène à la précédente à condition de remplacer U par I, R par G et L par C

l'admittance s'exprime alors par , elle est minimale à la résonance pour laquelle dans la capacité le courant est alors très élevé avec un facteur de surintensité Q' = C₀/G

On montre facilement que pour les fréquences, de part et d'autre de la fréquence de résonance, correspondant à un déphasage de 45° on a une amplitude de Z (circuit série) ou Y (circuit parallèle) diminuée de moitié (soit exprimé en décibel un affaiblissement de 3dB). Ces fréquences définissent ce qu'on appelle communément la bande passante du circuit .

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Quadripoles passifs :

On appelle quadripole passif un ensemble de composants passifs que l'on va assimiler à une boite noire comportant 2 bornes d'entrée et 2 bornes de sortie entre lesquelles on pourra exprimer et éventuellement mesurer des quantités significatives et utiles telles les courants et tensions d'entrée et de sortie ainsi que les impédances équivalentes au dispositif vu en entrée ou en sortie.

Ce quadripôle étant passif, pour le choix des sens positifs des courants on prendra la convention des récepteurs, c'est à dire les sens figurés sur le schéma ci-dessus. Comme il est constitué d'éléments linéaires (R, C et L non saturables) on peut écrire les lois des mailles et après simplification on aboutira nécéssairement à un couple de relations de la forme suivante:

V₁ = Z₁₁I₁ + Z₁₂I₂

V₂ = Z₂₁I₁ + Z₂₂I₂ et bien entendu V₂ = Z_uI₂

On peut montrer aisément que les impédances Z₁₂ et Z₂₁ sont égales. Notons enfin que si l'on avait choisi les conventions du système générateur le signe + devant I2 serait changé en - (mais bien évidemment le sens conventionnel choisi ne présume en rien de la réalité physique du circuit qui est indépendante des conventions).

Toujours en raison du principe de dualité on peut écrire les relations du quadripôle en exprimant les admittances qui seront parfois plus adaptées au problème examiné.

I₁ = Y₁₁U₁ + Y₁₂U₂

I₂ = Y₂₁U₁ + Y₂₂U₂ et Y₁₂ = Y₂₁

signification des éléments :

En faisant des essais à vide ou en court circuit on peut identifier ces Z et Y . Ainsi Z₁₁ sera l'impédance d'entrée à vide (c'est à dire lorsque les bornes de sorties sont ouvertes et que I₂ est donc nul).

Z₂₂ à l'inverse sera l'impédance de sortie à vide (I₁ nul)

Z₁₂= Z₂₁ sera l'impédance de couplage (ou impédance mutuelle)

Symétriquement Y₁₁ sera l'admittance d'entrée de court circuit (V₂= 0), Y₂₂ celle de sortie et Y₁₂= Y₂₁ sera appelée admittance de transfert.