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INFORMATION dernière mise à jour
18 mars 2013
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Analyse des circuits

Il n'était pas dans notre propos de faire un énième cours d'électronique et de théorie du signal, il en existe d'excellents, tant en librairie que sur le web et que nous avons répertoriés en bibliographie. Cependant dans un souci de cohérence et pour répondre aux demandes fréquentes de nos lecteurs nous avons décidé de présenter ici un minimum d'éléments d'information pour permettre au lecteur novice, ou à celui qui aurait oublié certaines bases, de mieux appréhender les différents chapitres de ce giga-site web. Ce module introductif sera donc découpé en trois grandes parties: une concernant les lois des réseaux et circuits linéaires, une seconde se rapportera aux signaux sinusoïdaux et assimilés, enfin nous présenterons la méthode d'analyse dite de Laplace qui, même si elle n'a plus les faveurs des théoriciens du signal, reste incontournable pour qui veut comprendre les méthodes de travail des électroniciens.

les dipôles classiques
une décomposition courante
les plus connus
les noeuds et les mailles
étoile ou triangle ?
base de l'analyse en fréquence
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Lois générales des circuits1/4

Nous considérerons en premier lieu ce qu'on appelle un circuit électronique linéaire, ce qui sous entend qu'il en existe qui ne le sont pas. Et la réalité nous montre que ce sont malheureusement les plus nombreux et que dans le monde qui nous entoure d'une façon générale les phénomènes linéaires sont rarissimes. Mais l'électronicien va souvent se débrouiller pour considérer astucieusement les dispositifs qu'il étudie, généralement en ne considérant les éléments variables que variant sur de très petites plages de variations ce qui lui permettra avec une approximation raisonnable de les considérer comme linéaires et simplifiera sensiblement les équations représentatives. Mais n'oublions jamais qu'il ne s'agit que d'approximations raisonnables et que si l'on s'écarte un peu trop du domaine de validité de ces approximations on aura de mauvaises surprises.

Lorsqu'on considère un circuit électrique, aussi complexe soit-il, on va pouvoir le décrire en considérant qu'il est constitué d'un assemblage de cinq types d'éléments principaux : deux types d'éléments, dits actifs, qui sont les générateurs de tension et les générateurs de courant, et trois éléments passifs qui sont respectivement les résistances, capacités et inductances. Chacun de ces éléments sera caractérisé par une relation typique u = f(i) reliant la tension à ses bornes u au courant qui le traverse i.

générateur de tension : il est figuré ci-dessous à gauche

générateur de courant : il figure à droite et est traversé par un courant I imposé et indépendant du reste du circuit.

U0 = VA-VB  

Un générateur de tension idéal possède une résistance interne nulle et donc quelle que soit la charge à ses bornes la tension fournie sera invariante et égale à U0, mais la réalité est moins parfaite et le générateur réel possède une résistance interne Zo, certes faible mais non nulle, qu'on figure en série sur le schéma (en rose ci-dessous) et par conséquent la tension fournie à la charge dépendra de celle-ci. En outre cette résistance interne ne possède généralement pas une valeur constante car elle dépend toujours de la température (laquelle varie indépendamment du système considéré d'une part, et d'autre part en ce qui concerne n'importe quel composant en fonction de l'effet Joule provoqué par le passage du courant) et en outre elle peut dépendre d'autres paramètres (comme diverses dérives liées à l'âge ou à l'état d'usure ou, pour les piles et batteries, à leur état de décharge, ainsi que parfois du champ magnétique local voire même parfois de la lumière reçue).

Il en est souvent de même des générateurs de courant dont la résistance (ou impédance interne) de valeur finie est figurée en parallèle sur le générateur idéal, ce qui entraine un partage du courant entre cette résistance et la charge.

Précisons que très souvent on modélisera l'ensemble d'un dispositif alimentant entre ses bornes A et B un récepteur (charge Z) par un générateur de tension dit générateur de Thévenin équivalent, ou par un générateur de courant dit générateur de Norton. Selon le cas on choisira l'un ou l'autre procédé en se rappelant qu'il est aisé de passer de l'une à l'autre représentation, ainsi qu'on peut le comprendre sur la figure ci-dessous.


Entre les points A et B dans les deux cas circule un courant Io et par conséquent la ddp entre A et B s'exprime par ZIo. On montre aisément en appliquant la loi d'Ohm sur la figure de gauche que Io = Uo/(Zo+Z) et sur la figure de droite que I = (1+Z/Zo)Io soit I = Uo/Zo

Notons que dans les expressions ci-dessus on n'a fait aucune réserve sur la forme des signaux que l'on pourrait identifier aux bornes des éléments. Ces expressions sont toujours instantanément vraies.

résistance : une résistance est un élément passif, généralement désignée par la lettre R, et telle que u = Ri = VA-VB avec la convention de signe figurée ci-dessous à gauche

résistance inductance

inductance: c'est un élément, figuré ci-dessus à droite, le plus souvent sous forme de bobinage, dont la relation caractéristique s'exprime par avec la convention graphique habituelle (signe positif si le sens positif du courant est orienté en sens opposé de celui de la tension). L s'exprime en henrys (H)

capacité: c'est le troisième type d'élément passif, C s'exprime en farads (F)

défini par la relation

En pratique il est fréquent qu'un élément passif quelconque (ou un ensemble d'éléments passifs associés entre deux points d'un dispositif) puisse être représenté soit par une combinaison en série d'une résistance, d'une inductance et d'une capacité, soit par une combinaison en parallèle de ces mêmes éléments. Le principe, dit de dualité, permet d'ailleurs de passer d'une représentation à l'autre et l'on choisira en pratique l'une ou l'autre selon les applications.

Ainsi la loi d'Ohm dans un tel ensemble série s'exprimera par et dans l'ensemble parallèle équivalent par relation dans laquelle G représente une conductance, c'est à dire l'inverse d'une résistance.

L'utilisation de l'outil informatique permet d'effectuer des calculs complexes sans se préoccuper a priori des ordres de grandeur des différents termes d'une somme. Cependant en électronique il est rare que les calculs a priori soient d'une extrême précision, car la quasi-totalité des éléments passifs et actifs réels sont fabriqués avec des tolérances souvent importantes et souvent mal connues a priori, on a donc quelquefois la possibilité de simplifier une somme dans une équation en ne tenant pas compte d'un terme qui sera plus de 10 fois plus faible que l'autre. C'est ce qu'on appelait autrefois la règle du dixième dont la justification était essentiellement liée au fait que l'on effectuait les calculs à la main et que les simplifications de ceux-ci étaient donc les bienvenues. Dans un calcul informatisé il n'y a plus lieu de simplifier à outrance, par contre les considérations à propos des tolérances ne doivent pas être oubliées sous peine de profonds déboires.

Quelques lois fondamentales permettent d'expliciter les calculs.

Théorème de superposition

Considérons un réseau linéaire renfermant divers éléments actifs et passifs, dont des générateurs de fréquences différentes. Le courant qui va traverser une branche quelconque de ce réseau sera la somme des courants que fournirait chaque générateur pris séparément, les autres étant remplacés par leur impédance. Ce théorème est fondamental car il permet d'examiner séparément les effets de diverses sources sur une portion de circuit : ainsi dans un amplificateur on étudiera séparément l'action de la source d'alimentation continue, c'est à dire en pratique le choix des composants pour obtenir ce qu'on appellera un point de repos défini (pour optimiser le dispositif), puis ensuite on déterminera le résultat de l'application à l'entrée d'une source variable sans plus se préoccuper de l'alimentation (à tel point qu'il arrive que des concepteurs oublient in fine dans le circuit imprimé du dispositif les lignes d'alimentation!).

Théorème de Thévenin

Dans un réseau linéaire alimenté par plusieurs générateurs de même fréquence, il est possible dans l'étude de leur effet global sur un dipôle AB de remplacer tout l'ensemble du dispositif en dehors de ce dipôle par un générateur équivalent dont l'effet sur le dipôle sera identique. Le grand intérêt de ce théorème est d'ordre pratique. Déterminer via le théorème de substitution le courant global dans un dipôle peut se révéler fastidieux voire très fastidieux.

Par contre il est assez souvent rapide et aisé d'enlever ledit dipôle du dispositif et, sans même avoir la nécessité de connaitre tous les éléments du dispositif, de mesurer expérimentalement à l'aide d'un multimètre ou si besoin d'instruments de mesure plus professionnels: On peut évidemment si cela semble plus judicieux déterminer le générateur de Norton équivalent (cf schéma du haut) par le biais d'une procédure expérimentale adaptée ou en exploitant la transformation Thévenin/Norton ci-avant..

Lois de Kirchhoff

Deux lois dues à ce physicien allemand vont nous permettre de simplifier l'étude des réseaux maillés résistifs (c'est à dire dont les seuls éléments passifs sont des résistances). La loi des noeuds précise qu'il ne peut y avoir accumulation d'électrons en un point et tout particulièrement en un noeud où arrivent plusieurs branches, ce qui revient à dire que la somme instantanée des courants entrant est identique à celle des courants sortant en ce noeud du réseau.

noeud i1+ i2 + i3 - i4 = 0 maille

La loi des mailles nous indique que la somme des différences de potentiel est nulle lorsqu'on tourne sur une maille.

Précisons que l'on utilisera l'une ou l'autre loi, mais pas les deux simultanément. Ainsi si l'on veut exploiter la loi des mailles pour déterminer toutes les grandeurs d'un réseau, il conviendra de transformer tous les générateurs du réseau en générateurs de tension, on pourra alors appliquer dans l'ensemble des mailles la loi des mailles. Si l'on préfère exploiter la loi des noeuds, on devra au préalable transformer chaque générateur de tension en son générateur de courant équivalent (d'où l'intérêt de la transformation Thévenin-Norton).

Théorème de Kennely

La simplification des réseaux passifs passe parfois par la transformation d'une maille à 3 branches en une étoile et vice versa. Cette transformation met en jeu les impédances Z des branches de l'étoile et les admittances y=1/z de la maille respectivement et vice versa.


On montre que et inversement que et de même par permutation circulaire pour les autres grandeurs.

Attention à ne pas confondre les Z et Y qui se rapportent à l'étoile et les z et y qui se rapportent à la maille

Théorème de Fourier

Lorsque l'on a un signal périodique non sinusoïdal de période w, Fourier a montré qu'il était possible de le décomposer en une somme de fonctions sinusoïdales de pulsations multiples de w et d'un terme constant ce qu'on a coutume d'appeler une série de Fourier. Ainsi un courant i = f(t) pourra s'exprimer sous la forme suivante:

ce que l'on peut décomposer en

On peut montrer que


Précisons que le coefficient I0 est parfois nul (valeur moyenne de f(t) nulle), que les coefficients An et Bn décroîssent rapidement avec n croissant et que parfois, soient les A ( cas de fonction f(t) impaire), soient les B ( cas de fonction f(t) paire) sont nuls. Ainsi pour étudier le comportement d'un réseau linéaire soumis à un signal périodique quelconque, il suffira généralement de calculer les 3 ou 4 premiers coefficients. Puis ensuite, dans chacune des branches, de superposer les 3 ou 4 courants sinusoïdaux obtenus.