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22 mars 2013
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Lignes de transmission

Adaptation partie (3/3)

puissance transmise à la charge le problème de l'adaptation
réalisation de l'adaptation par stub la solution
principe de l'abaque de Smith une méthode graphique
(quand on n'a pas d'ordinateur)
utilisation de l'abaque de Smith les exemples basiques
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1. Puissance transmise à la charge


Soit une tension e = E0sint fournie par un générateur d'impédance interne Zi, une ligne d'impédance caractéristique Z0 de constante de propagation et de longueur l grande devant , une charge ZT

L'impédance ramenée en A est . 4 cas sont alors possibles

Zi = Z0 = ZT, dans ce cas zR = Z0 quelle que soit l, il n'y a pas d'onde réfléchie et Pi = 1/2 Y0 VT2. Toute la puissance est transmise à la charge.
Zi = Z0 différente de ZT, l'onde incidente transporte Pi = 1/2 Y0 V12 et l'onde réfléchie ramène vers le générateur Pr = 1/2Y0 V22, où V1 et V2 sont les amplitudes respectives des ondes incidente et réfléchie. P consommée = Pi - Pr
Zi différente de Z0 = ZT. La charge est adaptée donc toute l'énergie transmise est absorbée par la charge, mais le générateur ne l'est pas, ce qui signife qu'il ne transmet pas à la ligne toute la puissance qu'il est susceptible de fournir
Zi différente de Z0 différente de ZT. C'est le cas le plus défavorable à éviter absolument, car la réflexion partielle s'effectue aussi bien au niveau de la charge que du générateur, d'où un systèmes d'ondes stationnaires extrêmement complexe!

En pratique on réalise généralement Zi = Z0 et l'on a ZT différente de Z0. Notre problème va donc être de réaliser ZT = Z0 par un procédé ne consommant pas de puissance, de telle sorte que, in fine, la totalité de la puissance produite par le générateur puisse être absorbée par la charge. C'est ce qu'on appelle l'adaptation.

Notons qu'on peut souvent mettre en série ou en parallèle sur ZT un ou des éléments pour obtenir Zéquivalent = ZT mais ces éléments consomment la puissance qui sans eux aurait été réfléchie vers le générateur, et, par suite le récepteur n'en utilise pas plus ce qui est donc inintéressant. Ce n'est donc pas la voie que nous allons utiliser.
2 Réalisation de l'adaptation par stub

On peut montrer ceci : En un point A situé à une distance d de la charge, l'admittance ramenée soit peut s'exprimer par YR = Y0 + jB où B est une quantité quelconque positive ou négative.

Si en ce point A on place en parallèle une admittance purement imaginaire -jB on voit que l'admittance équivalente devient Y0 (admittance caractéristique de la ligne). Or on a démontré ci-avant qu'une ligne court-circuitée (stub) ramène une impédance (ou admittance) purement imaginaire pouvant varier de -µ à +µ selon sa longueur. D'où la solution.



Notons : l'onde transmise voit à droite de A une admittance identique à Y0, elle est donc intégralement transmise mais se partage en deux parties l'une allant vers la charge et l'autre vers le court-circuit. Cette dernière ainsi qu'on l'a vu est intégralement réfléchie par le court-circuit comme aucune puissance ne peut franchir A vers la gauche puisqu'il n'y a pas d'onde réfléchie à gauche de A, elle va à nouveau se répartir entre la ligne principale et le stub. On comprend donc que progressivement toute l'énergie transmise sera absorbée par le seul élément consommant de l'énergie, c'est à dire la charge.

Le problème de l'adaptation est donc réduit à : déterminer le point A où l'on a YR = Y0 + jB puis déterminer la longueur du stub qui ramènera en son extrémité une admittance -jB.

Cela peut être obtenu par le calcul à partir de l'expression générale de YR, mais , à moins de posséder un logiciel ad hoc, c'est assez fastidieux. Aussi on préfère utiliser, comme souvent en électronique, une méthode graphique faisant appel à une abaque valable pour les impédances et admittances réduites. Notons qu'en coordonnées réduites la partie réelle de l'admittance ramenée par la ligne, au point A, vaut 1 et la partie imaginaire jB/Y0.


3. Principe de l'abaque de Smith

En tout point d'une ligne non adaptée on peut définir un coefficient de réflexion comme le rapport entre la tension de l'onde réfléchie et celle de l'onde incidente en ce point d'abscisse z où l'impédance ramenée est ZR

il vient On peut aisément vérifier que (z) varie périodiquement comme ZR

(z) = || expj exp(-2jz) or (z) étant un nombre complexe on va l'écrire sous la forme (z) = a + jb et l'impédance réduite s'exprime alors par

Nous allons donc examiner le plan complexe dans lequel est défini représenté par un point R d'abscisse a et d'ordonnée b.



Si je me place en z = 0 sur la charge, alors zR = zT et T = |r|exp jj = aT + jbT, T est représenté dans le plan complexe par le point T, et le coefficient (z) en tout point z sera représenté par un point du cercle dont le rayon est ||
En graduant les axes a et b on peut lire les valeurs de a et b et calculer zR. Mais on a fait mieux, on a gradué directement en impédance ce qui évite le calcul.

En effet remarquons, à titre d'exemple nous avons tracé sur le diagramme 2 droites passant par a = -2 et b = -2. La droite verticale est le lieu des points représentant les coefficients de réflexion (pour toute ligne et non pour la seule de notre exemple) dont la partie réelle vaut -2. De même, la droite horizontale est le lieu des points représentant les coefficients de réflexion dont la partie imaginaire vaut -2.

Si nous voulons graduer ce plan en impédance, il nous faut déterminer les lieux des points tels que la partie réelle ou la partie imaginaire de l'impédance soit constante.

soit et

On montre aisément que ces deux relations représentent chacune une famille de cercles dont l'expression générale est

équation d'un cercle de rayon R et centré en a = a0 et b = b0

ici il vient famille réelle et famille imaginaire.

Tous les cercles de la famille réelle ont leur centre sur l'axe a (b0 = 0) et un rayon 1/( + 1) donc < 1. De plus ils coupent tous l'axe réel au point 1 et -1/+1



En ce qui concerne la partie imaginaire on dispose de deux familles correspondant l'une à x > 0, l'autre à x < 0, centrées sur l'axe vertical d'abscisse a = +1 et passant tous par le point a = 1, b = 0 et sont donc tangents à l'axe réel.

Si l'on représente sur le même diagramme ces 2 familles de cercle, on constate que seule la partie commune (et donc incluse dans le plus grand cercle possible de rayon 1 de la famille réelle) nous est utile, d'où l'abaque circulaire de Smith.

téléchargez l'abaque : abaque.zip

4. graduation de l'abaque et utilisation

Tous les cercles réels, = constante, coupent l'axe réel a, c'est donc sur cette horizontale que l'on trouvera la graduation en.

Tous les cercles imaginaires coupent le cercle réel de rayon 1, c'est donc sur le pourtour que l'on trouvera les graduations en x.

Ainsi à l'intersection du cercle = 0.5 et du cercle x = 0.3 on a le point R représentatif de l'impédance zR = 0.5 + j 0.3
mesure du coefficient r
La mesure du coefficient de réflexion se fait aisément en passant du point R au point T par une rotation d'un angle - 2z autour d'un cercle dont le centre est le centre de l'abaque et le rayon ||. Il suffit de mesurer son rayon avec une règle graduée (et de ne pas oublier que le cercle pourtour de l'abaque a un rayon = 1, ce qui sur votre écran correspond à un certain nombre de centimètres) || représente la distance OR ou OT.
mesure de et longueur de ligne
c'est l'angle de OT avec l'axe a. Pour aller de R à T on tourne de - 2z et sur la ligne on se déplace de z.

Rappelons que = 2/et qu'un déplacement de z = /2 correspond à une rotation de 2, c'est à dire un tour complet de cercle. On a donc gradué à l'extérieur du cercle de rayon 1, une graduation spéciale qui permet de lire les fractions de longueur d'onde dont on se déplace. La graduation est double puisqu'on peut se déplacer sur la ligne, soit en allant vers le générateur (sens des aiguilles d'une montre), soit à l'inverse vers le récepteur (attention il y a une chance sur deux de se tromper!). Cette graduation est en coordonnée réduite : 1 tour correspond à/2 soit 0.5. Il faudra multiplier par pour avoir la longueur z en mètres.
utilisation pratique
Soit une ligne Z0 = 50 terminée par une charge ZT = 100 + j 25 , on cherche || et le TOS.

zT = ZT/Z0 = 2 + 0.5j Son point représentatif T est à l'intersection du cercle réel 2 et imaginaire + 0.5, la longueur du segment OT conduit (attention à l'échelle) à = 0.36

l'angle de OT avec l'axe horizontal est obtenu en prolongeant OT jusqu'à la graduation extérieure, on lit 0.226. Sur l'axe horizontal (à droite) on lit 0.25, on tourne donc de [0.25 - 0.226] = 0.024,
or 0.5 correspond à 2 donc = 0.024x2/0.5 = 0.096 radian

Lorsqu'on se déplace le long de la ligne, l'impédance réduite varie et passe successivement par deux valeurs purement réelles, dont l'une est égale au TOS et l'autre à son inverse.
On va donc tracer le cercle de rayon OT et à ses intersections avec l'axe horizontal on lira la valeur de (côté droit >1) on trouve TOS = 2.15 et bien entendu son inverse 0.46 = 1/TOS

Supposons une fréquence de signal f de 50 MHz et une vitesse de phase c de 3.108 m/s, alors = c/f = 6 m. On sait qu'aux maxima et minima de V et I sur la ligne l'impédance est purement réelle (son point représentatif est celui qui nous a permis de trouver le TOS et son inverse). Un déplacement de T jusqu'au premier maximum (point F) correspond à un déplacement angulaire de (déjà calculé) et une distance dM = [0.25 - 0.226] = 0.024 = 0.144m
Le minimum suivant est /4 plus loin, soit ici 1.5m plus loin dm = 1.644m, les suivants étant décalés de /2.

Connaissant ZT on peut sur l'abaque trouver immédiatement YT. En effet on peut aisément montrer que l'impédance ramenée à une distance de /4 de zT est yT, c'est à dire que le point représentatif de yT est le point T' symétrique de T. Il suffit alors de lire quels sont les cercles passant par T' pour connaitre yT puis YT = yT/Z0.

Un stub a pour impédance réduite z = 0 + jB/Z0 Son point représentatif est donc sur le cercle extérieur et son extrémité qui est un court-circuit est sur l'axe horizontal au point (0 + j0) le plus à gauche. Sa longueur peut donc être aisément calculée (attention on se déplace du point de branchement vers le court-circuit donc on s'éloigne du générateur).

EX : un stub de -j150 constitué d'un morceau de ligne d'impédance caractéristique 300 ,
soit en coordonnée réduite z = -0.5j , aura une longueur de 0.426.
adaptation
On donne TOS = 4.48, distance du premier minimum à la charge 6 cm, fréquence 300MHz (soit =1.5m), Z0 = 50

Il est aisé de montrer que ZT = 12 - 12j à partir de(zT =0.24 - 0.24j), on peut alors tracer le symétrique yT. On sait que tout point de la ligne est sur le cercle passant par T et T' et de centre O (cercle vert), mais qu'il y a 2 points où ce cercle coupe celui = 1 (les points I et J de la figure) en ces points on a YR = Y0 + jB et YR = Y0 - JB.
L'abaque nous indique qu'en ces points on a x = + 1.7 et x = -1.7
Si on fait l'adaptation en I en ce point on devra placer un stub -j1.7 (dont le point représentatif [K] est à l'intersection du cercle x = -1.7 et du grand cercle = 0). Sa longueur est définie en allant de K vers A (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) soit 3/4 de tour environ et très exactement 0.415 ce qui correspond ici à 62.4 cm.



Si, au contraire, on avait placé le stub en J il faudrait alors qu'il soit selfique, soit +1.7j Son point représentatif serait symétrique de K (en haut) et la distance à parcourir jusqu'en A beaucoup plus courte. On trouvera que sa longueur serait de 12.5cm. Précisons que la figure est destinée à montrer le principe de la méthode mais que les dimensions en sont inexactes. Il va de soi qu'il faut utiliser une véritable abaque de Smith pour effectuer un calcul graphique exact.

adaptation avec 2 stubs

Il arrive qu'on ne puisse pratiquement accéder à l'endroit où il faudrait brancher le stub selon la méthodologie ci-dessus, mais qu'on dispose d'une zone d'accès assez importante ailleurs. On va alors pouvoir procéder à l'adaptation en utilisant non plus 1 mais 2 stubs qui seront distants l'un de l'autre impérativement de 3/8, mais l'ensemble pourra être placé n'importe où sur la ligne.



Examinons la figure ci-dessus. Supposons qu'en A1 l'admittance ramenée par la ligne plus le stub 2 a sa partie réelle égale à 1, on sait qu'il nous sera alors aisé de placer en A1 un stub compensant la partie imaginaire. Le point représentatif de cette admittance est sur le cercle = 1 (orange sur la figure)



Quand on se déplace sur la ligne on se déplace sur le cercle noir, imaginons qu'on se déplace de 3/8 dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, partant de A1 on va arriver en A'. De même tout point B du cercle orange par un même déplacement va se retrouver sur un point du cercle vert. Or quand on se déplace ainsi on est arrivé sur la ligne au point A2 où se trouve le stub 2.

Quand on fait varier la longueur du stub 2 on rajoute en fait à la ligne dont l'admittance ramenée en A2 est y2 une susceptance variable. Le point représentatif se déplace sur un cercle (rose) partie réelle constante égale à celle de y2 ( partie imaginaire variable) celui-ci coupe le cercle vert nécessairement en deux points, donc en ajustant le stub 2 on pourra amener le point représentatif en Y1 ou Y2 et alors le point représentatif de la ligne en A1 sera nécessairement un point du cercle orange () et, par suite, on saura faire l'adaptation en ce point à l'aide d'un stub 1 de longueur adéquate.

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