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version initiale 2002
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dernière mise à jour
22 mars 2013
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Capteurs de pression

première partie (1/6) : déformations élastiques des solides

module d'Young et Poisson
une poutre encastrée, soutenue
le ressort de réveil
le module de glissement
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Pour des forces appliquées assez faibles,
  • les déformations sont proportionnelles aux contraintes et réversibles
  • les déformations sont parfaitement élastiques
  • la relation de correspondance est linéaire : loi de Hooke.

traction et compression

a) déformation élastique

Si la déformation est élastique, on a toujours proportionnalité entre la force appliquée par unité de section et l'allongement relatif

El / l = F/S

où E est le module d'Young (homogène à une pression) qui est un coefficient caractéristique du matériau.

E # 20000 hbars pour l'acier

On peut de même définir un module de compression K lui aussi homogène à une pression tel que

-V/V = F/ SK et l'on définit un coefficient de compressibilité = 1/K


On définit de même le coefficient de Poisson tel que R / R = - l / l

b) limite d'élasticité

Si l'on dépasse la limite élastique
  • il y a déformation permanente, puis rupture.
  • FL / S limite d'élasticité, FR / S charge de rupture
  • hystérésis: résidus de déformation
  • fluage: déformations lentes et non réversibles à températures élevées
acier cuivre alu
L hbar 40 3 10
R 80 25 12
dl/l rupt 0.2 0.4 0.3

flexion non circulaire

déformation élastique d'une lame par des forces transversales.


Chaque fibre de la poutre se déforme en restant parallèle au plan de symétrie de la poutre (plan de la feuille), f1 s'allonge, f2 se raccourcit tandis que la fibre neutre conserve sa longueur initiale.
poutre encastrée
On néglige le poids de la poutre devant la force F.

AB= l , PQ = dx # 0.... OP = r rayon de courbure.... BP = x

d = df / x soit df = x dx/r , f étant la flèche totale de l'extrêmité de la poutre et df la variation de flèche de P à Q

Considérons la portion de poutre comprise entre OMN et OM'N'. L'allongement relatif d'une fibre Q'Q" située à la distance y de la fibre neutre est yd/dx = y/r. Cette fibre est en équilibre sous l'action du moment de la force F appliquée en P soit - Fx et du moment de la force de traction exercée par la partie gauche de la poutre dans l'axe de la fibre telle que dF= dS E y/r, dS étant la section calculée à partir de la fibre neutre. soit d=dF y.
  • L'ensemble des forces agissant du fait de la flexion sur la portion MN équivaut à un couple de fléchissement de moment (perpendiculaire à p).

    = S dF y = E/r SdSy2 et en posant j = SdSy2 = moment d'inertie de la section droite par rapport à l'axe passant par P et perpendiculaire à OP, on obtient = E/r j soit encore = df Ej / xdx puisque df = x dx/r à l'équilibre df Ej / xdx = Fx et en intégrant de A à B


    Remarquons que la courbure 1/r = / Ej= Fx / Ej est nulle en B (x = 0) et maximale en A et n'est donc pas constante.

    poutre soutenue

    On peut considérer que tout se passe comme si l'on avait F/2 aux deux extrémités de deux poutres de longueur l / 2. Remarquons que l'on néglige le poids de la poutre devant F, mais F peut être tout simplement le poids de la poutre!
    df Ej / xdx=Fx/2 ..............
    pour une même longueur de poutre, à F identique la flèche est donc 16 fois moindre que pour une poutre encastrée.
    application au cas d'une poutre homogène
    rectangulaire d'épaisseur e, de largeur b et de longueur l


    dj = b dy y2 d'où

    d'où pour une poutre soutenue aux deux extrémités une flèche f2 = Fl3/4Ebe3 et pour une poutre encastrée f1=16f2


    ainsi pour une poutre de 1kg d'acier de dimensions l = 500mm, b = 20mm, e = 5mm

    on obtient f1= 10mm et f2= 0.625mm

flexion circulaire

L'exemple typique est celui du ressort de réveil. Le ressort spirale est plan soumis à un couple appliqué à une pièce liée à l'axe A, le point B étant fixe. Le ressort est constitué d'un ruban de section rectangulaire.


On va comme précédemment considérer un élément du ressort MNM'N'. Si l'angle des deux sections droites MN et M'N' a augmenté de da c'est que la portion est soumise à un moment de force G = Ej /r par rapport à la fibre neutre.

Tout le long du ressort on a donc d = dl / Ej et pour le ressort de longueur l on obtient = l / Ej ce qui revient à dire que si l'on applique un moment de force le ressort tourne de .

On a vu précédemment l'expression du moment d'inertie j = be3/12, il vient donc / = Ebe3 / 12l .

torsion
action d'un couple longitudinal
module de rigidité ou de glissement G

On suppose que le solide reste en équilibre S ne varie pas, le volume reste constant.

La force tangentielle qui provoque la déformation angulaire (RADIANS) d'un élément cubique de section S dont la base est supposée fixe s'exprime par F = GS dans laquelle G est le module de rigidité pour le fer G = 8000 hbars
torsion d'un cylindre (fil cylindrique de rayon r)

Considérons la portion de tube comprise entre les deux cylindres de rayon r et r+dr. Initialement A et A' sont sur la même génératrice exerçons dF en tordant le fil: A' devient A". Cette déformation se rattache au glissement. Deux tranches contigües découpées dans le cylindre par des plans perpendiculaires à l'axe glissent l'une sur l'autre en tournant autour de l'axe. Le glissement correspond dans chaque section à un couple de cisaillement, c'est l'ensemble de ces couples qui équilibre le couple de torsion appliqué à l'extrémité du fil.

Tout se passe comme si ce glissement était produit par une force dirigée suivant A'A".

dF = G dS dS = d(r2) = 2rdr

le moment de la force par rapport à l'axe est donc

dG = dF r = 2Gr2dr or = A'A"/l = r/l d'où dG = 2G /l r3dr

Si on considère maintenant la tige cylindrique comme un ensemble de tubes concentriques, les moments des forces qui les déforment s'ajoutent et en notant que le diamètre d = 2R

on obtient G = d4G/32l